Эвольвента

Запрос «Инволюта» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

Эвольвенты окружности. Являются частью профиля в зубчатом колесе с эвольвентным зацеплением

.

Анимация построения эвольвенты окружности

Эвольве́нта (от лат. evolvens «разворачивающийся») плоской линии $L$ — это линия $L_{*}$, по отношению к которой $L$ является эволютой.

Иными словами — кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой.

Если линия $L$ задана уравнением $\overline{r}=\overline{r}(s)$ (где $s$ — натуральный параметр), то уравнение её эвольвенты имеет вид

$\overline{\psi }=\overline{r}+(\alpha -s)\dot{\overline{r}}$,

где $\alpha$ — произвольный параметр.

Для параметрически заданной кривой уравнение эвольвенты

$X=x-\frac{x^{\prime }\underset{a}{\overset{t}{\int }}\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}dt}{\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}}$

$Y=y-\frac{y^{\prime }\underset{a}{\overset{t}{\int }}\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}dt}{\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}}$

Пример

Эвольвентой окружности является спиралевидная кривая. Её уравнения имеют следующий вид:

$x=r(\cos (t)+t\sin (t))$

$y=r(\sin (t)-t\cos (t))$

где $t$ — угол, a $r$ — радиус

Эвольвента цепной линии

Применения

• В технике эвольвенту окружности используют как профиль зуба для колёс зубчатой передачи и в спиральных вакуумных насосах.

См. также

• Эволюта
• Эвольвентное зацепление
• Параллельная кривая
• Каустика