Нормаль

Норма́ль в геометрии — обобщение понятия перпендикуляра к прямой или плоскости на произвольные гладкие кривые и поверхности.

В точке кривой построены векторы касательной (T), главной нормали (N) и бинормали (B). Показана также соприкасающаяся плоскость, содержащая касательную и главную нормаль.

Нормаль к кривой в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной прямой в указанной точке кривой. Плоская гладкая кривая имеет в каждой точке единственную нормаль, расположенную в той же плоскости. Пространственная кривая в каждой своей точке имеет бесконечное множество нормалей, формирующих так называемую нормальную плоскость. Две из этих нормалей выделяются особо: нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью, а нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью.

Нормаль к поверхности в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в указанной точке поверхности. Нормаль для гладкой поверхности определяется однозначно.

Понятие нормали может быть легко распространено на многомерные многообразия. Кроме геометрии, нормали широко используются в геометрической оптике, механике, при создании трёхмерной компьютерной графики, в теории потенциала и в других естественных науках.

Вектор нормали

Векторы нормали в точках поверхности

Вектор нормали (или орт нормали) к поверхности в данной точке — единичный вектор, приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Аналогично определяются векторы нормали к пространственной кривой в данной точке; среди них, соответственно сказанному выше, выбирают два, ортогональных друг к другу: вектор главной нормали и вектор бинормали.

Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным полем векторов нормали. В противном случае поверхность называют односторонней или неориентируемой. Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.

Примерами односторонних и, следовательно, неориентируемых поверхностей являются бутылка Клейна или лист Мёбиуса.

Нормаль к пространственной кривой

Пусть $\mathbf{𝐫}=\mathbf{𝐫}(t)$ — векторное уравнение кривой. Тогда направление главной нормали может быть получено как двойное векторное произведение: $[[{\mathbf{𝐫}}^{\prime },{\mathbf{𝐫}}^{″}],{\mathbf{𝐫}}^{\prime }].$ В случае естественной параметризации кривой (её длиной дуги) орт главной нормали равен ${\mathbf{𝐫}}^{″}$.

Векторное уравнение бинормали в точке $t=t_0$ имеет вид:

$\mathit{r}(\lambda )=\mathit{r}(t_0)+\lambda [{\mathit{r}}^{\prime }(t_0),{\mathit{r}}^{″}(t_0)].$

Уравнение нормальной плоскости в точке $\mathit{r}(t_0)=\{x_0,y_0,z_0\}$:

$x{\text{'}}_0(x-x_0)+y{\text{'}}_0(y-y_0)+z{\text{'}}_0(z-z_0)=0$

Нормаль к плоской кривой

Для плоской кривой содержащая её плоскость совпадает с соприкасающейся. Нормаль, с точностью до знака, только одна — главная, и её уравнение в точке $(x_0,y_0)$ имеет следующий вид.

Способ задания плоской кривой	Уравнение кривой	Уравнение нормали
Параметрическое задание	$\mathbf{𝐫}=\mathbf{𝐫}(t)$	$y=y_0-\frac{{x_0}^{\prime }}{{y_0}^{\prime }}(x-x_0)$
Явное задание	$y=f(x)$	$y=y_0-\frac{x-x_0}{{y_0}^{\prime }}$
Неявное задание	$F(x,y)=0$	$y=y_0+\frac{({F_y}^{\prime }{)}_0}{({F_x}^{\prime }{)}_0}(x-x_0)$

Нормаль к поверхности

В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия гладкости поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. При этом дополнительно накладывается условие регулярности (см. статью Поверхность). Примером точки поверхности, где нормаль не определена, является вершина конуса — в ней не существует касательной плоскости.

Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:

	Координаты нормали в точке поверхности
параметрическое задание: $\mathbf{𝐫}=\mathbf{𝐫}(u,v)$	$\frac{(\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\frac{D(z,x)}{D(u,v)};\frac{D(x,y)}{D(u,v)})}{\sqrt{{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)}^2+{\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)}^2+{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)}^2}}$
неявное задание: $F(x,y,z)=0$	$\frac{(\frac{\partial F}{\partial x};\frac{\partial F}{\partial y};\frac{\partial F}{\partial z})}{\sqrt{{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial F}{\partial z}\right)}^2}}$
явное задание: $z=f(x,y)$	$\frac{(-\frac{\partial f}{\partial x};-\frac{\partial f}{\partial y};1)}{\sqrt{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2+1}}$

Здесь $\frac{D(y,z)}{D(u,v)}=\left|\begin{array}{cc}y{\text{'}}_u& y{\text{'}}_v\\ z{\text{'}}_u& z{\text{'}}_v\end{array}\right|,\frac{D(z,x)}{D(u,v)}=\left|\begin{array}{cc}z{\text{'}}_u& z{\text{'}}_v\\ x{\text{'}}_u& x{\text{'}}_v\end{array}\right|,\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\left|\begin{array}{cc}x{\text{'}}_u& x{\text{'}}_v\\ y{\text{'}}_u& y{\text{'}}_v\end{array}\right|$. Все производные берутся в точке $(x_0,y_0,z_0)$. Из формул видно, что в случае неявного задания направление нормали к функции $F(x,y,z)$ совпадает с направлением её градиента.

Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется нормальным сечением поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).

Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол $\theta$. Тогда кривизна $k$ кривой связана с кривизной $k_n$ нормального сечения (с той же касательной) формулой Мёнье:

$k_n=\pm k\cos \theta$

Кривизна $k_n$ нормального сечения в заданной точке зависит от направления этого сечения; если кривизна не постоянна, то максимум и минимум достигаются в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называемых главными направлениями. На сфере, на торцах эллипсоида и т. п. кривизна постоянна, и все направления — главные.

Литература

• Нормаль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
• Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия. — 6-е изд. — М.: Наука, 1974. — 176 с.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 4-е изд. — М.: ГИТТЛ, 1956.

Ссылки

• Нормаль // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.