Прямая

Запрос «Прямая линия» перенаправляется сюда; о фильме см. Прямая линия (фильм).

Изображение прямых в прямоугольной системе координат

Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий, их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и плоскости) определяются аксиомами геометрии.

Прямая, наряду с окружностью, относится к числу древнейших геометрических фигур. Античные геометры считали эти две кривые «совершенными» и поэтому признавали только построения с помощью циркуля и линейки. Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «равно лежит на всех своих точках».

Аналоги прямых могут быть определены также в некоторых типах неевклидовых пространств. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то отрезок прямой можно определить как самую короткую кривую, соединяющую эти точки. Например, в римановой геометрии роль прямых играют геодезические линии, которые являются кратчайшими; на сфере кратчайшими являются дуги больших кругов.

Свойства прямой в евклидовой геометрии

Участки прямой, ограниченные двумя её точками, называются отрезками.

• Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
• Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
• Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными (следует из предыдущего).
• В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух несовпадающих прямых:
  • прямые пересекаются;
  • прямые параллельны;
  • прямые скрещиваются.
• Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Уравнения прямой на плоскости

Способы задания прямой:
$y=kx+b,\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ или $x\cos \theta +y\sin \theta -p=0$

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

$Ax+By+C=0,$

где $A,B$ и $C$ — произвольные постоянные, причём постоянные $A$ и $B$ не равны нулю одновременно.

При $A=0$ прямая параллельна оси $Ox$, при $B=0$ — параллельна оси $Oy$.

Вектор с координатами $(A,B)$ называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При $C=0$ прямая проходит через начало координат.

Также уравнение можно переписать в виде

$A(x-x_0)+B(y-y_0)=0.$

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой линии, пересекающей ось $Oy$ в точке $(0,b)$ и образующей угол $\phi$ с положительным направлением оси $Ox$:

$y=kx+b,k=\mathrm{t}\mathrm{g}\phi .$

Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом прямой.

В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси $Oy.$ (Иногда в этом случае формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».)

Получение уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой линии, пересекающей ось $Ox$ в точке $(a,0)$ и ось $Oy$ в точке $(0,b)$:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a\ne 0,b\ne 0).$

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

Нормальное уравнение прямой

$x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,$

где $p$ — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а $\theta$ — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси $Ox$ и направлением этого перпендикуляра. Если $p=0$, то прямая проходит через начало координат, а угол $\theta =\phi +\frac{\pi }{2}$ задаёт угол наклона прямой.

Вывод нормального уравнения прямой

Пусть дана прямая $L.$ Тогда $OP\perp L$ и $|\overrightarrow{OP}|=p.$ Рассмотрим для этого перпендикуляра его орт $\overrightarrow{e_p},|\overrightarrow{e_p}|=1.$ Допустим, что угол между $|\overrightarrow{e_p}|$ и осью $Ox$ равен $\theta .$ Так как ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1,$ то можно записать: $\overrightarrow{e_p}=(\cos \theta ;\sin \theta ).$ Теперь рассмотрим произвольную точку $M(x,y).$ Проведём радиус-вектор $\overrightarrow{OM}=(x,y).$ Теперь найдём проекцию $\overrightarrow{OM}$ на вектор $\overrightarrow{e_p}.$ $(\overrightarrow{e_p},\overrightarrow{OM})=x\cos \theta +y\sin \theta =p.$ Следовательно, $x\cos \theta +y\sin \theta -p=0.$ Это и есть нормальное уравнение прямой. ■

Если прямая задана общим уравнением $Ax+By+C=0,$ то отрезки $a$ и $b,$ отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент $k,$ расстояние прямой от начала координат $p,$ $\cos \theta$ и $\sin \theta$ выражаются через коэффициенты $A$, $B$ и $C$ следующим образом:

$a=-\frac{C}{A},b=-\frac{C}{B},k=\mathrm{t}\mathrm{g}\phi =-\frac{A}{B},\phi =\theta -\frac{\pi }{2},$

$p=\frac{C}{\pm \sqrt{A^2+B^2}},\cos \theta =\frac{A}{\pm \sqrt{A^2+B^2}},\sin \theta =\frac{B}{\pm \sqrt{A^2+B^2}}.$

Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие $p>0.$ В этом случае $\cos \theta$ и $\sin \theta$ являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если $C=0,$ то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

Если заданы две несовпадающие точки с координатами $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$, то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением

$\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ x_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\end{array}\right|=0$

или

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

или в общем виде

$(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1{y}_2-x_2{y}_1)=0.$

Получение векторного параметрического уравнения прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором ${\overrightarrow{r}}_0,$ конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой $\overrightarrow{u}.$ Параметр $t$ пробегает все действительные значения.

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_0}+t\overrightarrow{u}.$

Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

$\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{x}t,\\ y=y_0+a_{y}t,\end{array}$

где $t$ — произвольный параметр, $a_x,a_y$ — координаты $x$ и $y$ направляющего вектора прямой. При этом

$k=\frac{a_y}{a_x},a=\frac{a_y{x}_0-a_x{y}_0}{a_y},b=\frac{a_x{y}_0-a_y{x}_0}{a_x},$

$p=\frac{a_x{y}_0-a_y{x}_0}{\pm \sqrt{a_x^2+a_y^2}},\cos \theta =\frac{a_x}{\pm \sqrt{a_x^2+a_y^2}},\sin \theta =\frac{a_y}{\pm \sqrt{a_x^2+a_y^2}}.$

Смысл параметра $t$ аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

Вывод

$\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{x}t\\ y=y_0+a_{y}t\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x-x_0=a_{x}t\\ y-y_0=a_{y}t\end{array}$

$\frac{x-x_0}{y-y_0}=\frac{a_x}{a_y}$

$\frac{x-x_0}{y-y_0}=\frac{a_x}{a_y}⟺\frac{x-x_0}{a_x}=\frac{y-y_0}{a_y}$

где $a_x,a_y$ — координаты $x$ и $y$ направляющего вектора прямой, $x_0$ и $y_0$ координаты точки, принадлежащей прямой.

Уравнение прямой в полярных координатах

Уравнение прямой в полярных координатах $\rho$ и $\phi$:

$\rho (A\cos \phi +B\sin \phi )+C=0$

или

$\rho \cos (\phi -\theta )=p.$

Тангенциальное уравнение прямой

Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:

$\xi x+\eta y=1.$

Числа $\xi$ и $\eta$ называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.

Уравнения прямой в пространстве

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_0+t\overrightarrow{a},t\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }),$

где ${\overrightarrow{r}}_0$ — радиус-вектор некоторой фиксированной точки $M_0,$ лежащей на прямой, $\overrightarrow{a}$ — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), $\overrightarrow{r}$ — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

$x=x_0+t\alpha ,y=y_0+t\beta ,z=z_0+t\gamma ,t\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }),$

где $(x_0,y_0,z_0)$ — координаты некоторой фиксированной точки $M_0,$ лежащей на прямой; $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

$\frac{x-x_0}{\alpha }=\frac{y-y_0}{\beta }=\frac{z-z_0}{\gamma },$

где $(x_0,y_0,z_0)$ — координаты некоторой фиксированной точки $M_0,$ лежащей на прямой; $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой^{[уточнить]} в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

$(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{N}}_1)+D_1=0$ и $(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{N}}_2)+D_2=0,$

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

$\{\begin{array}{l}(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{N}}_1)+D_1=0,\\ (\overrightarrow{r},{\overrightarrow{N}}_2)+D_2=0.\end{array}$

Векторное уравнение прямой в пространстве:

Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой $\overrightarrow{r}$ на фиксированный направляющий вектор прямой $\overrightarrow{a}$:

$[\overrightarrow{r},\overrightarrow{a}]=\overrightarrow{M},$

где фиксированный вектор $\overrightarrow{M}$, ортогональный вектору $\overrightarrow{a}$, можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости

Три точки $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ и $(x_3,y_3)$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|=0.$

Отклонение точки $(x_1,y_1)$ от прямой $Ax+By+C=0$ может быть найдено по формуле

$\delta =\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{\pm \sqrt{A^2+B^2}},$

где знак перед радикалом противоположен знаку $C.$ Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки $(x_1,y_1,z_1)$ до прямой, заданной параметрическим уравнением

$\{\begin{array}{l}x=x_0+t\alpha ,\\ y=y_0+t\beta ,t\in \mathbb{ℝ}\\ z=z_0+t\gamma ,\end{array}$

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент $t$ этой точки может быть найден по формуле

$t_{\min }=\frac{\alpha (x_1-x_0)+\beta (y_1-y_0)+\gamma (z_1-z_0)}{{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2}.$

Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости

Две прямые, заданные уравнениями

$A_{1}x+B_{1}y+C_1=0,A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$

или

$y=k_{1}x+b_1,y=k_{2}x+b_2$

пересекаются в точке

$x=\frac{B_1{C}_2-B_2{C}_1}{A_1{B}_2-A_2{B}_1}=\frac{b_1-b_2}{k_2-k_1},y=\frac{C_1{A}_2-C_2{A}_1}{A_1{B}_2-A_2{B}_1}=\frac{k_2{b}_1-k_1{b}_2}{k_2-k_1}.$

Угол ${\gamma }_{12}$ между пересекающимися прямыми определяется формулой

$\mathrm{t}\mathrm{g}{\gamma }_{12}=\frac{A_1{B}_2-A_2{B}_1}{A_1{A}_2+B_1{B}_2}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}.$

При этом под ${\gamma }_{12}$ понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами $A_1$, $B_1$, $C_1$, $k_1$ и $b_1$) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$ или $k_1=k_2$, и перпендикулярны, если $A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$ или $k_1=-\frac{1}{k_2}$.

Любую прямую, параллельную прямой с уравнением $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0,$ можно выразить уравнением $A_{1}x+B_{1}y+C=0.$ При этом расстояние между этими прямыми будет равно

$\delta =\frac{C_1-C}{\pm \sqrt{A_1^2+B_1^2}};$

Если же уравнение прямой задано как $y_1=k{x}_1+b_1$, а уравнение прямой параллельной ей $y=kx+b$, то расстояние можно вычислить, как

$\delta =\frac{|b_1-b|}{\sqrt{1+k^2}}.$

Если знак перед радикалом противоположен $C_1,$ то $\delta$ будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

$A_{1}x+B_{1}y+C_1=0,A_{2}x+B_{2}y+C_2=0,A_{3}x+B_{3}y+C_3=0$

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

$\left|\begin{array}{ccc}{A}_1& B_1& C_1\\ A_2& B_2& C_2\\ A_3& B_3& C_3\end{array}\right|=0.$

Если $A_2=-B_1$ и $B_2=A_1$, то прямые $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$ перпендикулярны.

Некоторые специальные типы прямых

• Прямая Александрова
• Прямая Симсона
• Прямая Суслина
• Прямая Эйлера
• Числовая прямая

Литература

• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике. — Выпуск 4. — Гостехиздат, 1952 г. — 32 стр.
• Прямая // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
• Coxeter, H.S.M (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4 
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1 
• Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0 
• Wylie, Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2 

Ссылки

• Прямая на плоскости, справочник математических формул «Прикладная математика»
• Прямая в пространстве, справочник математических формул «Прикладная математика»