Подера

улитка Паскаля — подера окружности

Подера (фр. podaire, от греч. πόυς, род. пад. ποδος — нога) кривой $\gamma$ относительно точки $P$ — множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на касательные к кривой $\gamma$.

Примеры

Лемниската Бута — подера эллипса.
Здесь a=2 b=1, уравнение 4x²+y²=(x²+y²)²

• Улитка Паскаля — подера окружности.
• Подера параболы
  • относительно её фокуса — прямая,
  • относительно вершины — циссоида.
• Подера эллипса
  • относительно его фокуса — окружность,
  • относительно центра эллипса — лемниската Бута.

Уравнения

Для параметрически заданной кривой $(x(t),y(t))$ подера $(X(t),Y(t))$ относительно точки $(0,0)$ задаётся уравнениями

$X=\frac{(x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime })y^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}$

$Y=\frac{(y{x}^{\prime }-x{y}^{\prime })x^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}$

В общем случае, относительно точки $(x_0,y_0)$, уравнения будут такими:

$X=\frac{x_{0}x{\text{'}}^2+xy{\text{'}}^2+(y_0-y)x^{\prime }{y}^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}$

$Y=\frac{y_{0}y{\text{'}}^2+yx{\text{'}}^2+(x_0-x)x^{\prime }{y}^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}$

Связанные определения

• Антиподерой кривой $\gamma$ относительно точки $P$ называется кривая, подера которой относительно точки $P$ есть $\gamma$.
  • Например, парабола есть антиподера прямой.
• Подера поверхности относительно точки $P$ — множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на касательные плоскости поверхности.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Pedal Curve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.