Эволюта

Гипербола и для её правой ветви — эволюта, а также окружность, соответствующая кривизне вершины гиперболы

Эволю́та плоской кривой — геометрическое место точек, являющихся центрами кривизны кривой.

По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой.

Уравнения

Если линия задана параметрическими уравнениями $X=x(t),Y=y(t)$, то её эволюта имеет уравнение:

$X=x(t)-y^{\prime }\frac{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}{x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }},$

$Y=y(t)+x^{\prime }\frac{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}{x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }}$

В частности, если $t$ является натуральным параметром кривой $\overrightarrow{r}(t)$, то её эволюта может быть задана уравнением:

$\overrightarrow{r}(t)+\frac{1}{k(t)}\overrightarrow{n}(t)$,

где $\overrightarrow{n}$ — единичный вектор нормали кривой, направленный в сторону центра кривизны, $k$ — кривизна.

Примеры

Вытянутая астроида как эволюта эллипса

Эволюта астроиды

• Вытянутая астроида
• :$x=\frac{a^2-b^2}{a}{\cos }^{3}t,y=\frac{b^2-a^2}{b}{\sin }^{3}t$

является эволютой эллипса

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

• Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
• Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной и параллельно сдвинутой от исходной так, что вершины переходят в её каспы. Эти свойства открыты Христианом Гюйгенсом; они были им использованы при создании точных механических часов, собственная частота маятника в которых не зависит от амплитуды колебаний.

См. также

• Эвольвента
• Параллельная кривая
• Соприкасающаяся окружность

Литература

• Д. А. Граве. Дифференциальное исчисление // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• В. Бляшке. Диференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна / М. Я. Выгодский (перевод с немецкого). — М.: ОНТИ, 1935. — 331 с.