Гипоциклоида

Гипоцикло́ида (греч. ὑπό (под, внизу) + греч. κύκλος (круг, окружность)) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.

Уравнения[править]

Параметрические уравнения:

{\begin{cases} x = r (k - 1) (\cos t + \frac{\cos ((k - 1) t)}{k - 1}) \\ y = r (k - 1) (\sin t - \frac{\sin ((k - 1) t)}{k - 1}) \end{cases}

где $k = \frac{R}{r}$ , где $R$ — радиус неподвижной окружности, $r$ — радиус катящейся окружности.

Вывод уравнений

Пусть в начальный момент окружности касаются в точке $A$ , лежащей на оси $O X$ , где точка $O$ — центр большой окружности. Координаты точки $A$ при этом - $(k r, 0)$ , где $k = \frac{R}{r}$ . Рассмотрим, как меняются координаты точки $A$ , привязанной к катящейся окружности ( $A$ переходит в $A^{'}$ ). Пусть маленькая окружность прокатилась так, что её центр перешел из точки $C^{'}$ в точку $C^{'}$ и повернулся относительно точки $O$ на угол $t$ . Во-первых, можно показать, что поворот маленькой окружности относительно своего центра при этом (т.е. угол между $C A$ и $C^{'} A^{'}$ ) равен $t - k t = - (k - 1) t$ . Во-вторых, координаты точки $C^{'}$ будут такими: $(c o s (t) (k - 1) r, s i n (t) (k - 1) r)$ . Тогда, зная, куда перейдет центр катящейся окружности, и на какой угол она повернулась относительно этого центра, можно записать координаты точки $A^{'}$ :

{\begin{cases} x = c o s (t) (k - 1) r + c o s ((k - 1) t) r \\ y = s i n (t) (k - 1) r - s i n ((k - 1) t) r \end{cases}

Модуль величины $k$ определяет форму гипоциклоиды. При $k = 2$ гипоциклоида описывается парой Туси — это диаметр неподвижной окружности, при $k = 4$ является астроидой. Если модуль $k$ — несократимая дробь вида $\frac{m}{n}$ ( $m, n \in ℕ$ ), то $m$ — это количество каспов данной гипоциклоиды, а $(m - n)$ — количество полных вращений катящейся окружности. Если модуль $k$ иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.