Улитка Паскаля

Три улитки Паскаля, конхоиды чёрной окружности: зелёная $a>\ell$, красная (кардиоида) $a=\ell$ и синяя $a<\ell$

Анимация подеры окружности

Улитка Паскаля ― плоская кривая определённого типа. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Уравнения

Уравнение в прямоугольных координатах:

$(x^2+y^2+ay{)}^2={\ell }^2(x^2+y^2),$

в полярных координатах:

$\rho =\ell -a\sin \varphi ,$

Построение улитки Паскаля

параметрическое:

$x=2R\cdot \cos (t)-h\cdot \cos (2t),$

$y=2R\cdot \sin (t)-h\cdot \sin (2t).$

Здесь a — диаметр исходной окружности, а $\ell$ — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора (см. конхоида).

При этом начало координат является

• узловой точкой при $a>\ell$,
• точкой возврата при $a=\ell$ (в этом случае улитка Паскаля называется кардиоидой),
• двойной точкой при $a<\ell$.

В случае $\ell =a/2$ улитка Паскаля также называется трисектри́са. Такое название она получила из-за того, что если на плоскости задана трисектриса, то трисекцию угла можно построить с помощью циркуля и линейки. Уравнение трисектрисы:

$z=b(e^{it}+e^{2it})=b{e}^{\frac{3it}{2}}(e^{\frac{it}{2}}+e^{\frac{-it}{2}})=2b{e}^{\frac{3it}{2}}\cos \frac{t}{2},$

в полярных координатах:

$r=2b\cos \frac{\theta }{3}.$

Свойства

• Улитка Паскаля является плоской алгебраической кривой 4-го порядка.
• Улитка Паскаля является обобщением кардиоиды.
• Улитка Паскаля является подерой окружности.
• Улитка Паскаля является конхоидой окружности относительно точки на окружности.
• Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала.
• Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды.
• Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой.
• Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода.
• Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:

  $S=\frac{\pi a^2}{2}+\pi {\ell }^2.$

При $a>\ell$ площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.

Литература

• Улитка Паскаля // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 188—189. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).