Моносплайн

Моносплайн — вид сплайна, сконструированный из степенной функции $x^m$ и полиномиального сплайна степени $m-1$, получивший распространение в задачах поиска наилучших квадратурных формул для дифференцируемых функций и ряде других приложений; считаются удобными для компьютерных реализаций.

Формально, для заданного целого числа $m$, множества узлов $\mathrm{\Delta }=(x_1<x_2<\dots <x_k)$ и вектора гладкости $\mathfrak{𝔐}=(m_1,\dots ,m_k)$ ($1⩽m_i⩽m$ для всех $i=1,\dots ,k$), класс моносплайнов степени $m$ определяется как:

${ℳ}{𝒮}(P_{m-1},\mathfrak{𝔐},\mathrm{\Delta })=\{\frac{x^m}{m!}+s(x)\mid s\in {𝒮}(P_{m-1},\mathfrak{𝔐},\mathrm{\Delta })\}$,

где ${𝒮}(P_{m-1},M,\mathrm{\Delta })$ — класс полиномиальных сплайнов степени $m-1$ над множеством узлов $\mathrm{\Delta }$ и вектором гладкости $\mathfrak{𝔐}$ (что означает равенство в $i$-м узле производных стыкующихся многочленов вплоть до $m_i$-й степени включительно).

Многие свойства моносплайнов наследуются от полиномиальных сплайнов, в частности, для них имеет место следующий результат: если $f$ — моносплайн класса ${ℳ}{𝒮}(P_{m-1},\mathfrak{𝔐},\mathrm{\Delta })$, то его правосторонняя производная $f{\text{'}}_{+}$ — моносплайн класса ${ℳ}{𝒮}(P_{m-2},{\mathfrak{𝔐}}^{\prime },\mathrm{\Delta })$, где ${\mathfrak{𝔐}}^{\prime }=\{\min (m_1,m-2),\dots ,\min (m_k,m-2)\}$. Для переноса ряда свойств с полиномиальных сплайнов на моносплайны разработаны специальные техники, в частности, для определения кратности нулей.

Пространство моносплайнов ${ℳ}{𝒮}(P_{m-1},\mathfrak{𝔐},\mathrm{\Delta })$ выпукло, при этом не является линейным (в отличие от пространств полиномиальных сплайнов).

Литература

• Larry L. Schumaker. Spline Functions: Basic Theory. — 3rd Edition. — N. Y.: Cambridge University Press, 2007. — 582 с. — (Cambridge Mathematica Library). — ISBN 978-0-521-70512-7.
• Н. П. Корейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. — Киев: Наукова думка, 1992. — ISBN 5-12-002210-3.
• Моносплайн — статья из Математической энциклопедии. Ю. Я. Субботин