Отрезок

Понятие «отрезок» может иметь и другие значения.

Отрезок AB (выделен красным)

Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.

Отрезок в геометрии

В евклидовом пространстве отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки $A$ и $B$, обозначается символом $AB$. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают $AB$ или $|AB|$.

Направленный отрезок

Основная статья: Вектор (математика)

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки $AB$ и $BA$ представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным, или вектором. Например, направленные отрезки $AB$ и $BA$ не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Это приводит к понятию свободного вектора — класса всех возможных векторов, отличающихся друг от друга только параллельным переносом, которые принимаются равными.

Отрезок числовой прямой

Основная статья: Промежуток (математика)

Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел $\{x\}$, удовлетворяющих неравенству $a\le x\le b$, где заранее заданные вещественные числа $a$ и $b$ $(a<b)$ называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа $x$, удовлетворяющие неравенству $a<x<b$, называются внутренними точками отрезка.

Отрезок обычно обозначается $[a,b]$:

$[a,b]=\{x\in \mathbb{ℝ}\mid a\le x\le b\}$.

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число $|a-b|=b-a$ называется длиной числового отрезка $[a,b]$.

Стягивающаяся система сегментов. Стягивающиеся вложенные отрезки

Встречается также вариант написания: Лемма о вложенных отрезках. Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой $\{[a,b]|a,b\in \mathbb{ℝ}\wedge a<b\}$.

Система сегментов обозначается $\{[a_n,b_n]{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$. Подразумевается, что каждому натуральному числу $n$ поставлен в соответствие отрезок $[a_n,b_n]$.

Система сегментов $\{[a_n,b_n]{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ называется стягивающейся, если

• каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;

  $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}:[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n]$

• соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(b_n-a_n)=0$

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

$\mathrm{\forall }\{[a_n,b_n]{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\exists }!c\in \mathbb{ℝ}\mathrm{\forall }n\in N:c\in [a_n,b_n],$ где $\mathrm{\forall }$ — квантор всеобщности.

Этот факт следует из свойств монотонной ограниченной последовательности.

См. также

• Интервал
• Промежуток
• Алгоритмы построения отрезка
• Прямая