Градиент

Эта статья о векторе; о способе заливки см. Градиент (компьютерная графика).

Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и чем длиннее, тем круче наклон.

Градие́нт (от лат. gradiens, род. п. gradientis «шагающий, растущий») — вектор, своим направлением указывающий направление возрастания (а антиградиент - убывания) некоторой скалярной величины $\phi ,$ (значение которой меняется от одной точки пространства к другой, образуя скалярное поле), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Например, если взять в качестве $\phi$ высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

Другими словами, градиент — это производная по пространству, но в отличие от производной по одномерному времени, градиент является не скаляром, а векторной величиной.

С математической точки зрения на градиент можно смотреть как на:

1. Коэффициент линейности изменения значения функции многих переменных от изменения значения аргумента;
2. Вектор в пространстве области определения скалярной функции многих переменных, составленный из частных производных;
3. Строки матрицы Якоби содержат градиенты составных скалярных функций из которых состоит векторная функция многих переменных.

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным (безразмерным).

Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г.; обозначение $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ тоже предложил Максвелл.

Стандартные обозначения:

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi$

или, с использованием оператора набла,

$\mathrm{\nabla }\phi$

— вместо $\phi$ может быть любое скалярное поле, обозначенное любой буквой, например $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}V,\mathrm{\nabla }V$ — обозначения градиента поля: $V$.

Ознакомление

Файл:Gradient of a Function.tif Пусть температура в комнате задана с помощью скалярного поля T таким образом, что в каждой точке, заданной координатами (x, y, z) температура равняется T(x, y, z) (предположим, что температура не изменяется с течением времени). В каждой точке комнаты градиент функции T будет показывать направление, в котором температура возрастает быстрее всего. Величина градиента определяет, насколько быстро температура возрастает в данном направлении.

Определение

Для случая трёхмерного пространства градиентом дифференцируемой в некоторой области скалярной функции $\phi =\phi (x,y,z)$ координат $x$, $y$, $z$ называется векторная функция с компонентами

$\frac{\partial \phi }{\partial x},\frac{\partial \phi }{\partial y},\frac{\partial \phi }{\partial z}.$

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат ${\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z$:

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi =\mathrm{\nabla }\phi =\frac{\partial \phi }{\partial x}{\overrightarrow{e}}_x+\frac{\partial \phi }{\partial y}{\overrightarrow{e}}_y+\frac{\partial \phi }{\partial z}{\overrightarrow{e}}_z.$

Если $\phi$ — функция $n$ переменных $x_1,\dots ,x_n$, то её градиентом называется $n$-мерный вектор

$(\frac{\partial \phi }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial \phi }{\partial x_n}),$

компоненты которого равны частным производным $\phi$ по всем её аргументам.

• Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идёт речь.
• Оператором градиента называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) даёт её градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».

Смысл градиента любой скалярной функции $f$ в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения $d\mathbf{𝐱}$ даёт полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена $f$, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения $f$ при смещении на $d\mathbf{𝐱}$. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}d{x}_2+\frac{\partial f}{\partial x_3}d{x}_3+\dots =\sum _i\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i=(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathbf{𝐟}\cdot d\mathbf{𝐱}).$

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат $x_i$, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку $d\mathbf{𝐱}$ — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

$df=\sum _i({\partial }_{i}f)d{x}^i$

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

$df=({\partial }_{i}f)d{x}^i$

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Используя интегральную теорему

$\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }\phi dV=\underset{S}{\iint }\phi d\mathbf{𝐬}$,

градиент можно выразить в интегральной форме:

$\mathrm{\nabla }\phi =\lim {}_{V\to 0}\frac{1}{V}\left(\underset{S}{\iint }\phi d\mathbf{𝐬}\right),$

здесь ${S}$ — замкнутая поверхность охватывающая объём ${V},{d}\mathbf{𝐬}$ — нормальный элемент этой поверхности.

Пример

Например, градиент функции $\phi (x,y,z)=2x+3y^2-\sin z$ будет представлять собой:

$\mathrm{\nabla }\phi =(\frac{\partial \phi }{\partial x},\frac{\partial \phi }{\partial y},\frac{\partial \phi }{\partial z})=(2,6y,-\cos z).$

В физике

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, напряжённость электростатического поля есть минус градиент электростатического потенциала, напряжённость гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Консервативная сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии.

В естественных науках

Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далёких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д.

Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

В экономике

В экономической теории понятие градиента используется для обоснования некоторых выводов. В частности, используемые для нахождения оптимума потребителя метод множителей Лагранжа и условия Куна-Таккера (позаимствованные из естественных наук) основаны на сопоставлении градиентов функции полезности и функции бюджетного ограничения.

Геометрический смысл

Рассмотрим семейство линий уровня функции $\phi$:

$\gamma (h)=\{(x_1,\dots ,x_n)\mid \phi (x_1,\dots ,x_n)=h\}.$

Нетрудно показать, что градиент функции $\phi$ в точке $\overrightarrow{x}{}^0$ перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности $\overrightarrow{x}{}^0$, то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъёма в данной точке.

Связь с производной по направлению

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции $\phi$ по направлению $\overrightarrow{e}=(e_1,\dots ,e_n)$ равняется скалярному произведению градиента $\phi$ на единичный вектор $\overrightarrow{e}$:

$\frac{\partial \phi }{\partial \overrightarrow{e}}=\frac{\partial \phi }{\partial x_1}{e}_1+\dots +\frac{\partial \phi }{\partial x_n}{e}_n=(\mathrm{\nabla }\phi ,\overrightarrow{e}).$

Таким образом, для вычисления производной скалярной функции векторного аргумента по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах

$\mathrm{grad}U(q_1,q_2,q_3)=\frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}{\overrightarrow{e}}_1+\frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}{\overrightarrow{e}}_2+\frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}{\overrightarrow{e}}_3,$

где $H_i$ — коэффициенты Ламе.

Полярные координаты (на плоскости)

Коэффициенты Ламе:

$\begin{array}{c}{H}_1=1\\ H_2=r\end{array}.$

Отсюда:

$\mathrm{grad}U(r,\theta )=\frac{\partial U}{\partial r}\overrightarrow{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\overrightarrow{e_{\theta }}.$

Цилиндрические координаты

Коэффициенты Ламе:

$\begin{array}{c}{H}_1=1\\ H_2=r\\ H_3=1\end{array}.$

Отсюда:

$\mathrm{grad}U(r,\theta ,z)=\frac{\partial U}{\partial r}\overrightarrow{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+\frac{\partial U}{\partial z}\overrightarrow{e_z}.$

Сферические координаты

Коэффициенты Ламе:

$\begin{array}{c}{H}_1=1\\ H_2=r\\ H_3=r\sin \theta \end{array}.$

Отсюда:

$\mathrm{grad}U(r,\theta ,\phi )=\frac{\partial U}{\partial r}\overrightarrow{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial U}{\partial \phi }\overrightarrow{e_{\phi }}.$

Вариации и обобщения

• Пусть $u:X\to Y$ — отображение между метрическими пространствами. Борелева функция $\rho :X\to \mathbb{ℝ}$ называется верхним градиентом $u$ если следующее неравенство

  $|u(p)-u(q){|}_Y\le \underset{\gamma }{\int }\rho$

выполняется для произвольной спрямляемой кривой $\gamma$, соединяющей $p$ и $q$ в $X$.

См. также

• Что такое градиент на YouTube
• Векторный анализ
• Теорема Остроградского — Гаусса
• Формулы векторного анализа
• Оператор набла
• Градиент концентрации
• 4-градиент
• Оператор Кэнни
• Градиентные методы

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия методы и приложения: учебное пособие для физико-математических специальностей университетов. — М.: Наука, 1986. — 759 с.

Ссылки

• Броунов П. И. Градиент // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.