Матрица Якоби

Не следует путать с Трёхдиагональная матрица.

Матрица Яко́би отображения $\mathbf{𝐮}:{\mathbb{ℝ}}^n\to {\mathbb{ℝ}}^m$ в точке $x\in {\mathbb{ℝ}}^n$ описывает главную линейную часть произвольного отображения $\mathbf{𝐮}$ в точке $x$.

Определение

Пусть задано отображение $\mathbf{𝐮}:{\mathbb{ℝ}}^n\to {\mathbb{ℝ}}^m,\mathbf{𝐮}=(u_1,\dots ,u_m{)}^T,u_i=u_i(x_1,\dots ,x_n),i=1,\dots ,m,$ имеющее в некоторой точке $x$ все частные производные первого порядка. Матрица $J$, составленная из частных производных этих функций в точке $x$, называется матрицей Якоби данной системы функций.

$J(x)=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}(x)& \frac{\partial u_1}{\partial x_2}(x)& \cdots & \frac{\partial u_1}{\partial x_n}(x)\\ \frac{\partial u_2}{\partial x_1}(x)& \frac{\partial u_2}{\partial x_2}(x)& \cdots & \frac{\partial u_2}{\partial x_n}(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial u_m}{\partial x_1}(x)& \frac{\partial u_m}{\partial x_2}(x)& \cdots & \frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x)\end{array}\right)$

Иными словами, матрица Якоби является производной векторной функции от векторного аргумента.

Связанные определения

• Если $m=n$, то определитель $|J|$ матрицы Якоби называется определителем Якоби или якобиа́ном системы функций $u_1,\dots ,u_n$.
• Отображение называют невырожденным, если его матрица Якоби имеет максимально возможный ранг; то есть,

  $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}J=\min (m,n)$

Свойства

• Если все $u_i$ непрерывно дифференцируемы в окрестности ${\mathbf{𝐱}}_0$, то

  $\mathbf{𝐮}(x)=\mathbf{𝐮}(x_0)+J(x_0)(\mathbf{𝐱}-{\mathbf{𝐱}}_0)+o(|\mathbf{𝐱}-{\mathbf{𝐱}}_0|)$

• Пусть $\phi :{\mathbb{ℝ}}^n\to {\mathbb{ℝ}}^m,\psi :{\mathbb{ℝ}}^m\to {\mathbb{ℝ}}^k$ — дифференцируемые отображения, $J_{\phi },J_{\psi }$ — их матрицы Якоби. Тогда матрица Якоби композиции отображений равна произведению их матриц Якоби (свойство функториальности):

  $J_{\psi \circ \phi }(x)=J_{\psi }(\phi (x))J_{\phi }(x)$

См. также

• Якобиан