Верзьера Аньези

Верзьера Аньези

Верзье́ра (верзие́ра) Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек $M$, для которых выполняется соотношение $\frac{BM}{BC}=\frac{OA}{OB}$, где $OA$ — диаметр окружности, $BC$ — полухорда этой окружности, перпендикулярная $OA$. Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

История

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзьерой (итал. Versiera, от лат. Versoria), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус.

В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзьерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма» (англ. witch). Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется the witch of Agnesi.

Уравнения

$O=(0,0)$, $A=(0,a)$

• В прямоугольной системе координат:

$y=\frac{a^3}{a^2+x^2}$

Вывод

Координаты точки $M$, лежащей на верзьере — это $x=BM$, $y=OB$. $OA=a$ и по определению строим пропорцию

$\frac{x}{BC}=\frac{a}{y}$

Отсюда

$BC=\frac{xy}{a}$

С другой стороны $BC$ может быть найден из уравнения окружности:

${(y-\frac{a}{2})}^2+x^2=\frac{a^2}{4}$

Нам известен $y=OB$, значит выражаем $x^2$:

$x^2=\frac{a^2}{4}-{(y-\frac{a}{2})}^2$

Приравниваем оба выражения для $BC$:

$\frac{x^2{y}^2}{a^2}=\frac{a^2}{4}-{(y-\frac{a}{2})}^2$

Возводим в квадрат, переносим и выносим $y^2$ за скобки:

$(\frac{x^2}{a^2}+1)y^2=ay$

Выражаем y (y=0 не подходит по определению):

$y=\frac{a^3}{a^2+x^2}$

Если $a$ — это не диаметр, а радиус окружности, то уравнение такое:

$y=\frac{8a^3}{4a^2+x^2}$

• Параметрическое уравнение:

$\{\begin{array}{l}x=a\mathrm{tg}\phi \\ y=a{\cos }^2\phi \end{array}$, где $\phi$ — угол между $OA$ и $OC$

Вывод

Координаты точки $M$ однозначно определяются углом $\phi$ между $OB$ и $OC$. Если $OB=y$, а $BM=x$, то по определению верзьеры можно составить пропорцию

$\frac{OA}{y}=\frac{x}{BC}$

$OA$ по предположению равен $a$. Из треугольника $OBC$: $BC=y\mathrm{tg}\phi$, значит

$\frac{a}{y}=\frac{x}{y\mathrm{tg}\phi }$

отсюда $x=a\mathrm{tg}\phi$. Эту формулу подставляем в уравнение кривой:

$y=\frac{a^3}{a^2+a^2{\mathrm{tg}}^2\phi }$

$y=\frac{a}{1+{\mathrm{tg}}^2\phi }$

Используя тождество, получаем

$y=a{\cos }^2\phi$

• В полярной системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить кубическое уравнение:

$\rho \sin \phi =\frac{a^3}{a^2+{\rho }^2{\cos }^2\phi }$

${\rho }^3({\cos }^2\phi \sin \phi )+\rho (a^2\sin \phi )-a^3=0$

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства

• Верзьера — кривая третьего порядка.
• Диаметр $OA$ единственная ось симметрии кривой.
• Кривая имеет один максимум — $A(0;a)$ и две точки перегиба — $P_{1,2}(\pm \frac{a}{\sqrt{3}};\frac{3a}{4})$
• В окрестности вершины $A$ верзьера приближается к окружности диаметра $OA$. В точке $A$ происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке $A$: $R_A=\frac{a}{2}$.
• Площадь под графиком $S=\pi a^2$. Она вычисляется интегрированием уравнения по всему $\mathbb{ℝ}$.
• Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси $OX$) $V=\frac{{\pi }^2{a}^3}{2}$.

Построение

Построение верзьеры

Строится окружность диаметра $a$ и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

Интересные факты

• Трамплин-рампа российского авианосца Адмирал флота Советского Союза Кузнецов образован верзьерой Аньези. Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180—200 км/ч (для Су-27). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.

См. также

• Кривая
• Распределение Коши

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ:Астрель, 2006.

Ссылки

• И. М. Виноградов. Аньези локон // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
• Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов  (неопр.). Дата обращения: 13 января 2012.
• Анимация построения (англ.). Дата обращения: 13 января 2012. Архивировано 14 марта 2012 года.
• Статья в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (фр.). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано 14 марта 2012 года.
• Статья на сайте Wolfram MathWorld (англ.). Дата обращения: 15 июня 2010.
• XahLee.org (англ.). Дата обращения: 13 января 2012.
• Leslie Pacher. The mathematical “Witch” (англ.). Дата обращения: 13 января 2012. Архивировано из оригинала 14 марта 2012 года.