Строфоида

Строфоида (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая 3-го порядка. Строится следующим образом (см. Рис. 1):

Рис. 1

Рис. 2

В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OD, задана фиксированная точка A на оси OX. Через т. А проводится произвольная прямая AL, которая пересекает ось ординат в точке P. От точки P, на расстоянии равном OP, в обе стороны вдоль прямой AL находятся точки M1 и M2. Геометрическое место точек M1 и M2 образуют строфоиду.

В прямоугольной системе координат строится прямая строфоида или просто строфоида, которая изображена на Рис.1. В косоугольной системе координат строится косая строфоида — Рис.2.

Уравнения

Уравнение строфоиды в декартовой системе координат, где O — начало координат, ось абсцисс направлена по лучу OB, ось ординат по лучу OD, угол $\alpha =\mathrm{\angle }AOD$(для прямоугольной системы координат $\alpha =\frac{\pi }{2}$), записывается так:

$y^2(x-a)-2x^{2}y\cos \alpha +x^2(a+x)=0$.

Уравнение прямой строфоиды:

$y=\pm x\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}$.

Уравнение строфоиды в полярной системе координат:

$\rho =-\frac{a\cos 2\varphi }{\cos \varphi }$.

Параметрическое уравнение строфоиды:

$x=a\left(\frac{u^2-1}{u^2+1}\right)$

$y=au\left(\frac{u^2-1}{u^2+1}\right)$, где

$u=\mathrm{t}\mathrm{g}\varphi$.

Точка B отстоит от центра координат O на расстоянии равном a=OA. Прямая UV, проведенная через точку B параллельно оси ординат служит асимптотой для обеих ветвей прямой строфоиды. Для косой строфоиды, прямая UV служит асимптотой для нижней ветви и касательной в точке S, причём SB = SA.

В точке O существуют две касательные, которые взаимно перпендикулярны, как для прямой, так и для косой строфоиды.

История

Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Он называл эту кривую «птероидой» (от греч. πτερον— крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году.

Дальнейшее относится только к прямой строфоиде.

Нахождение касательной

$y^{\prime }=\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}(1+\frac{ax}{a^2-x^2})$

В точке $O(0,0)$ производная $y^{\prime }=\pm 1$, то есть в точке $O(0,0)$ существуют две перпендикулярные касательные, угол наклона которых равен $\pm \frac{\pi }{4}$.

Вывод

Тангенс угла наклона касательной равен значению первой производной функции. Перепишем уравнение строфоиды (прямой) в следующем виде:

$y=xz$, где $z=\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}$.

$y^{\prime }=z+x{z}^{\prime }$

$z=\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}$

$\ln z=\frac{1}{2}\ln a+x-\frac{1}{2}\ln a-x$

Дифференцируем данное уравнение:

$\frac{z^{\prime }}{z}=\frac{1}{2}\frac{1}{a+x}+\frac{1}{2}\frac{1}{a-x}=\frac{a}{a^2-x^2}$

$\frac{z^{\prime }}{z}=\frac{1}{2}\frac{1}{a+x}+\frac{1}{2}\frac{1}{a-x}=\frac{a}{a^2-x^2}$

$z^{\prime }=\frac{a}{a^2-x^2}\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}$

отсюда

$y^{\prime }=\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}(1+\frac{ax}{a^2-x^2})$

Радиус кривизны

$R=ON$ в точке $O(0,0)$ определяется так:

$R=\frac{a}{\cos \mathrm{\angle }AON}=\frac{a}{\cos \frac{\pi }{4}}=a\sqrt{2}$.

Площадь петли строфоиды и площадь между строфоидой и асимптотой

Площадь петли строфоиды слева от оси ординат

$S_1=a^2(2-\frac{\pi }{2})$.

Площадь между строфоидой и асимптотой справа от оси ординат

$S_1=a^2(2+\frac{\pi }{2})$.

Вывод

Уравнение верхней дуги $A{M}_{1}O$:

$y=-x\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}$   (1)

Половина площади левой петли строфоиды равна интегралу от уравнения (1) в пределах от $-a$ до $0$.

$\frac{1}{2}{S}_1=-\underset{-a}{\overset{0}{\int }}x\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx$   (2)

Подстановка:

$u=a-x,a+x=2a-u,dx=-du$.

Пределы интегрирования:

$x=-a\Rightarrow u=2a,x=0\Rightarrow u=a$

Интеграл (2) преобразуется к виду:

$\frac{1}{2}{S}_1=\underset{2a}{\overset{a}{\int }}(a-u)\sqrt{\frac{2a-u}{u}}du=$

$=-\underset{2a}{\overset{a}{\int }}u\sqrt{\frac{2a-u}{u}}du+a\underset{2a}{\overset{a}{\int }}\sqrt{\frac{2a-u}{u}}du$   (3)

Первый интеграл из уравнения (3):

$-\underset{2a}{\overset{a}{\int }}u\sqrt{\frac{2a-u}{u}}du=-\underset{2a}{\overset{a}{\int }}\sqrt{2au-u^2}du$   (4)

Подстановка:

$v=u-a,u=v+a,dv=du$.

Пределы интегрирования:

$u=2a\Rightarrow v=a,u=a\Rightarrow v=0$.

Интеграл (4) преобразуется к виду:

$-\underset{a}{\overset{0}{\int }}\sqrt{2a(v+a)-{(v+a)}^2}dv=-\underset{a}{\overset{0}{\int }}\sqrt{a^2-v^2}dv=$

$=-[\frac{v}{2}\sqrt{a^2-v^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{v}{a}]\{\begin{array}{l}0\\ a\end{array}=$

$=\frac{a^2}{2}\arcsin 1=\frac{a^2\pi }{4}$.

Второй интеграл из уравнения (3):

$a\underset{2a}{\overset{a}{\int }}\sqrt{\frac{2a-u}{u}}du$   (5)

Подстановка:

$u=v^2,du=2vdv$.

Пределы интегрирования:

$u=2a\Rightarrow v=\sqrt{2a},u=a\Rightarrow v=\sqrt{a}$.

Интеграл (5) преобразуется к виду:

$2a\underset{\sqrt{2a}}{\overset{\sqrt{a}}{\int }}\sqrt{2a-v^2}dv=$

$=2a[\frac{v}{2}\sqrt{2a-v^2}+a\arcsin \frac{v}{\sqrt{2a}}]\{\begin{array}{l}\sqrt{a}\\ \sqrt{2a}\end{array}=$

$=-\frac{a^2\pi }{2}+a^2$.

Итак:

$\frac{1}{2}{S}_1=\frac{a^2\pi }{4}-\frac{a^2\pi }{2}+a^2$

Площадь $S_1$ равна:

$S_1=2a^2-\frac{a^2\pi }{2}$.

Если координата $x$ стремится к $a$, то правые ветви строфоиды стремятся к $\pm \mathrm{\infty }$, но площадь между линией $U^{\prime }O{V}^{\prime }$и асимптотой $UV$ конечна и определяется интегралом (2) в пределах от $0$ до $a$. В этом случае площадь получится отрицательной, так как уравнение (1) описывает ветвь OU', а площадь, заключенная между этой ветвью и лучом OX и лучом BU — отрицательна. Если вычислить интеграл (2) в пределах от $0$ до $a$, получим следующее выражение для площади $S_2$:

$S_2=2a^2+\frac{a^2\pi }{2}$.

Объём тела вращения

Объём ($V_1$) тела, образованного при вращении дуги $O{M}_{1}A$ вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

$V_1=\pi \underset{-a}{\overset{0}{\int }}{\left(x\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\right)}^{2}dx=$   (6)

$=\pi \underset{-a}{\overset{0}{\int }}{x}^2\frac{a+x}{a-x}dx=$

$=-\pi \underset{-a}{\overset{0}{\int }}{x}^{2}dx-2\pi a\underset{-a}{\overset{0}{\int }}xdx-2\pi a^2\underset{-a}{\overset{0}{\int }}dx+2\pi a^3\underset{-a}{\overset{0}{\int }}\frac{dx}{a-x}=$

$=-\frac{a^3\pi }{3}+a^3\pi -2a^3\pi +2a^3\pi \ln 2$

Итак:

$V_1=a^3\pi (2\ln 2-\frac{4}{3})$.

Объём ($V_2$) тела, образованного при вращении ветви $O{V}^{\prime }$ вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из интеграла (6) в пределах от $0$ до $b$, где $0=<b<a$ :

$V_2=\pi \underset{0}{\overset{b}{\int }}{\left(x\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\right)}^{2}dx=$

$=-\pi \underset{0}{\overset{b}{\int }}{x}^{2}dx-2\pi a\underset{0}{\overset{b}{\int }}xdx-2\pi a^2\underset{0}{\overset{b}{\int }}dx+2\pi a^3\underset{0}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{a-x}=$

$=-\frac{\pi b^3}{3}-a\pi b^2-2a^2\pi b+2a^3\pi (\ln a-\ln (a-b))$.

Если $b\Rightarrow a$, то $\ln (a-b)\Rightarrow -\mathrm{\infty }$, то есть $V_2\Rightarrow \mathrm{\infty }$.