Кривая Персея

Кривые Персея как сечения тора плоскостью

Кривая Персея (спирическое сечение, спирическая линия, от др.-греч. σπειρα — тор^[1]) — сечение тора плоскостью, параллельной оси вращения тора; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. В зависимости от параметров сечения, кривые могут иметь формы «выпуклых» и «вдавленных» овалов, «восьмёрок» и двух овалов^[2].

Впервые этот подкласс торических сечений изучен древнегреческим геометром Персеем около 150 года до н. э., спустя приблизительно 200 лет после первых исследований конических сечений Менехмом^[3]. Переоткрыты в XVII веке^[2]; лемниската Бута («выпуклый овал») и овал Кассини («восьмёрка») — частные случаи кривой Персея.

Уравнение кривой в декартовой системе координат

(r^{2} - a^{2} + c^{2} + x^{2} + y^{2})^{2} = 4 r^{2} (x^{2} + c^{2})

,

в ней $a$ — радиус окружности, вращением которой вдоль окружности с радиусом $r$ образован тор. При $c = 0$ кривая состоит из двух окружностей радиуса $a$ с центрами $(\pm r, 0)$ ; при $c = r + a$ кривая вырождается в точку — начало координат, если же $c > r + a$ — то кривая состоит из пустого множества точек^[3].

Если ввести новые параметры: $d = 2 (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ , $e = 2 (a^{2} - b^{2} - c^{2})$ и $f = - (a + b + c) (a + b - c) (a - b + c) (a - b - c)$ , то возникает другая форма уравнения^[4]:

(x^{2} + y^{2})^{2} = d x^{2} + e y^{2} + f

.

Также можно определить кривую Персея как бициркулярную кривую^[5], симметричную относительно осей $x$ и $y$ .

Уравнение в полярных координатах:

(r^{2} - a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} = 4 b^{2} (r^{2} \cos^{2} θ + c^{2})

,

или^[4]:

r^{4} = r^{2} (d \cos^{2} θ + e \sin^{2} θ) + f

.

Поскольку в приведённые неявные формулы входят только квадраты переменных, то получение явных формул сводится к решению квадратных уравнений.

См. также[править]

Окружности Вилларсо

Примечания[править]

↑ Стиллвелл, 2004, с. 42: «Эту поверхность, порожденную вращением круга вокруг оси за пределами круга, но в той же самой плоскости, греки называли spira, — отсюда название спирические сечения для сечений плоскостями, параллельными осям».
↑ ^2,0 ^2,1 Стиллвелл, 2004, с. 43.
↑ ^3,0 ^3,1 Мактьютор, 1997.
↑ ^4,0 ^4,1 Если система уравнений для $d$ , $e$ , $f$ не имеет решения в множестве допустимых параметров тора, то это уравнение не описывает кривую Персея.
↑ Бициркулярная кривая // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Литература[править]

Стиллвелл Д. Математика и её история. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 42—43. — 530 с.

Ссылки[править]

Weisstein, Eric W. Spiric Section (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Spiric Sections (неопр.). MacTutor History (1 января 1997). Дата обращения: 18 мая 2018. Архивировано из оригинала 26 октября 2019 года.
Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Perseus (англ.) — биография в архиве MacTutor.

[_d5b726fe50caa29a-1] Стиллвелл, 2004, с. 42: «Эту поверхность, порожденную вращением круга вокруг оси за пределами круга, но в той же самой плоскости, греки называли spira, — отсюда название спирические сечения для сечений плоскостями, параллельными осям».

[_77acde26205ca349-2] 2,0 ^2,1 Стиллвелл, 2004, с. 43.

[_5674d97a23e1ee24-3] 3,0 ^3,1 Мактьютор, 1997.

[Ут.-4] 4,0 ^4,1 Если система уравнений для $d$ , $e$ , $f$ не имеет решения в множестве допустимых параметров тора, то это уравнение не описывает кривую Персея.

[5] Бициркулярная кривая // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]