Декартов лист

Декартов лист

Декартов лист — плоская алгебраическая кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе $x^3+y^3=3axy$. Параметр $3a$ определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

История

«Цветок Жасмина»

Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где $x$ и $y$ принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).

В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.

Уравнения

• В прямоугольной системе по определению:

$x^3+y^3=3axy.$

• В полярной системе:

$\rho =\frac{3a\cos \phi \sin \phi }{{\cos }^3\phi +{\sin }^3\phi }.$

• Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

$\{\begin{array}{l}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3a{t}^2}{1+t^3}\end{array}$, где $t=\mathrm{tg}\phi$.

Повёрнутый декартов лист

Часто рассматривают повёрнутую на $135^{\circ }$ кривую. Её уравнения выглядят так:

• В прямоугольной системе:

$y=\pm x\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}$, где $l=\frac{3a}{\sqrt{2}}.$

• Параметрическое:

$x=l\frac{t^2-1}{3t^2+1},y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}.$

• В полярных координатах:

$\rho =\frac{l({\sin }^2\phi -{\cos }^2\phi )}{\cos \phi ({\cos }^{}\phi +3{\sin }^{}\phi )}.$

Вывод уравнений повёрнутой кривой

Систему координат XOY преобразуют в систему координат UOV, которая получается поворотом осей OX и OY по часовой стрелке на угол $\alpha =\frac{\pi }{4}$ и переориентацией оси OX в противоположном направлении: $\left|\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}-u\\ v\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right|$ Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так: $x=-u\cos \alpha -v\sin \alpha$ $y=-u\sin \alpha +v\cos \alpha$, или $x=-\frac{u}{\sqrt{2}}-\frac{v}{\sqrt{2}}$ $y=-\frac{u}{\sqrt{2}}+\frac{v}{\sqrt{2}}$, После подстановки выражений старых координат через новые уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду: $v^2=\frac{u^2}{3}\frac{3a+u\sqrt{2}}{a-u\sqrt{2}}$. Вводим параметр $l=\frac{3a}{\sqrt{2}}$, последнее уравнение перепишется так: $v^2=u^2\frac{l+u}{l-3u}$ или $v=\pm u\sqrt{\frac{l+u}{l-3u}}$. Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат: $y=\pm x\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}$ Подставив в уравнение предыдущее $x=\rho \cos \phi ,y=\rho \sin \phi$, получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат: $\rho \sin \phi =\rho \cos \phi \sqrt{\frac{t+\rho \cos \phi }{t-3\rho \cos \phi }}$. Решая данное выражение относительно $\rho$, получаем: $\rho =\frac{l({\sin }^2\phi -{\cos }^2\phi )}{\cos \phi ({\cos }^{}\phi +3{\sin }^{}\phi )}$.

Свойства

• Прямая $OA$ — ось симметрии, её уравнение: $y=x$.
• Точка A называется вершиной, её координаты $(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2})$.

• Для обеих ветвей существует асимптота $UV$, её уравнение: $x+y+a=0$.

Вывод уравнения асимптоты

Для повёрнутого декартового листа: При $y=0$ имеем $x=0$ или $\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}=0$, Рассматриваем второй случай: $l+x=0$, то есть, $x=-l$, то есть $x=-\frac{3a}{\sqrt{2}}$, значит $OA=\frac{3a}{\sqrt{2}}$. Уравнение асимптоты UV определяется из выражения: $l-3x=0$, следовательно, $x=\frac{l}{3}=\frac{a}{\sqrt{2}}$. После поворота осей на $-135^{\circ }$ получаем окончательное уравнение $x+y+a=0$

• Площадь области между дугами $ACO$ и $ABO$ $S_1=\frac{l^2}{3}=\frac{3}{2}{a}^2$

Нахождение площади $S_1$

Площадь $S_1$, заключённая между дугами ACO и ABO вычисляется так: $\frac{1}{2}{S}_1=-\underset{-l}{\overset{0}{\int }}x\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}dx$, где $l=\frac{3a}{\sqrt{2}}$. Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки: $u=l-3x,l+x=\frac{4}{3}l-\frac{1}{3}u,dx=-\frac{1}{3}du$. Пределы интегрирования: $x=-l\Rightarrow u=4l,x=0\Rightarrow u=l$ Интеграл преобразуется к виду: $\frac{1}{2}{S}_1=\frac{1}{9\sqrt{3}}\underset{4l}{\overset{l}{\int }}(l-u)\sqrt{\frac{4l-u}{u}}du$ или $\frac{1}{2}{S}_1=\frac{1}{9\sqrt{3}}\underset{4l}{\overset{l}{\int }}l\sqrt{\frac{4l-u}{u}}du-\frac{1}{9\sqrt{3}}\underset{4l}{\overset{l}{\int }}u\sqrt{\frac{4l-u}{u}}du$ Первый интеграл из этого уравнения: $\frac{1}{9\sqrt{3}}\underset{4l}{\overset{l}{\int }}l\sqrt{\frac{4l-u}{u}}du$. Подстановка: $u=v^2,du=2vdv$. Пределы интегрирования: $u=4l\Rightarrow v=2\sqrt{l},u=l\Rightarrow v=\sqrt{l}$. Интеграл преобразуется к виду: $\frac{2l}{9\sqrt{3}}\underset{2\sqrt{l}}{\overset{\sqrt{l}}{\int }}\sqrt{{\left(2\sqrt{l}\right)}^2-v^2}dv=$ $=\frac{2l}{\sqrt{3}}[\frac{v}{2}\sqrt{{\left(2\sqrt{t}\right)}^2-v^2}+\frac{{\left(2\sqrt{l}\right)}^2}{2}\arcsin \left(\frac{v}{2\sqrt{l}}\right)]{|}_{2\sqrt{l}}^{\sqrt{l}}=\frac{l^2}{9\sqrt{3}}[\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi ]$. Второй интеграл: $-\frac{1}{9\sqrt{3}}\underset{4l}{\overset{l}{\int }}\sqrt{4t{u}^2-u^2}du$ Подстановка: $u=v+2l,du=dv$. Пределы интегрирования: $u=4l\Rightarrow v=2t,u=l\Rightarrow v=-l$. Интеграл преобразуется к виду: $-\frac{1}{9\sqrt{3}}\underset{2l}{\overset{-l}{\int }}\sqrt{{\left(2l\right)}^2-v^2}dv=$ $=-\frac{1}{9\sqrt{3}}[\frac{v}{2}\sqrt{{\left(2l\right)}^2-v^2}+\frac{{\left(2l\right)}^2}{2}\arcsin \left(\frac{v}{2l}\right)]{|}_{2l}^{-l}=\frac{l^2}{9\sqrt{3}}[\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4}{3}\pi ]$. Итак: $\frac{1}{2}{S}_1=\frac{l^2}{9\sqrt{3}}[\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi ]+\frac{l^2}{9\sqrt{3}}[\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4}{3}\pi ]$. Площадь $S_1$ равна $S_1=\frac{l^2}{3}=\frac{3}{2}{a}^2$.

• Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли $S_2=S_1=\frac{3}{2}{a}^2$.

Нахождение площади $S_2$
Площадь $S_2$, заключённая между ветвями кривой и асимптотой UV, вычисляется точно также, как и площадь $S_1$; интеграл берётся в пределах от 0 до $\frac{l}{3}$. $\frac{1}{2}{S}_2=\underset{0}{\overset{\frac{l}{3}}{\int }}x\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}dx$ Этот интеграл вычисляется также, как и в предыдущем случае. $S_2=\frac{l^2}{3}=\frac{3}{2}{a}^2$, то есть, площади $S_1$ и $S_2$ равны между собой.

• Объём тела, образованного при вращении дуги $ACO$ вокруг оси абсцисс $V_1=\frac{\pi l^3}{27}(\ln 4-1)$

Нахождение объёма вращения

Объём ($V_1$) тела, образованного при вращении дуги $ACO$ вокруг оси абсцисс, рассчитывается так: $V_1=\pi \underset{-l}{\overset{0}{\int }}{x}^2\frac{l+x}{l-3x}dx=$ $=-\frac{\pi }{3}\underset{-l}{\overset{0}{\int }}{x}^{2}dx-\frac{4\pi l}{9}\underset{-l}{\overset{0}{\int }}xdx-\frac{4\pi l^2}{27}\underset{-l}{\overset{0}{\int }}dx+\frac{4\pi l^3}{27}\underset{-l}{\overset{0}{\int }}\frac{dx}{l-3x}=$ $=\frac{\pi l^3}{27}(\ln 4-1)$. Итак: $V_1=\frac{\pi l^3}{27}(\ln 4-1)$. Объём ($V_2$) тела, образованного при вращении одной ветви вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из предыдущего интеграла в пределах от $0$ до $\frac{t}{3}$. Этот интеграл равен бесконечности, то есть $V_2=\mathrm{\infty }$.

Исследование кривой

При $y=0$ имеем $x=0$ или $\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}=0$, или $l+x=0\Rightarrow x=-l\Rightarrow x=-\frac{3a}{\sqrt{2}}$, то есть $OA=\frac{3a}{\sqrt{2}}$.

Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:

$l-3x=0\Rightarrow x=\frac{l}{3}=\frac{a}{\sqrt{2}}$.

Производная

Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:

$y^{\prime }=\left(x\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}\right)$

$y^{\prime }=\frac{2lx}{(l-3x)\left(\sqrt{l-3x}\sqrt{l+x}\right)}+\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}$.

Приравниваем производную y' к нулю и решаем полученное уравнение относительно x. Получим: $x=-\frac{l}{\sqrt{3}}$. При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге $ACO$ — точка $C$ и минимум на нижней дуге $ABO$ — точка $B$. Значение функции в этих точках равно:

$y(-\frac{l}{\sqrt{3}})=\pm \frac{l}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}}$.

Значение производной y’ в точке $O$ равно $\pm 1$, то есть касательные в точке $O$ взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом $\pm \frac{\pi }{4}$.

См. также

• Овал Декарта

Ссылки

• Д. К. Бобылёв. Декартов лист // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.