Триакисикосаэдр

Триакисикосаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	каталаново тело
Свойства	выпуклый, изоэдральный
Комбинаторика
Элементы	60 граней 90 рёбер 32 вершины Χ = 2
Грани	равнобедренные треугольники:
Конфигурация вершины	20(33) 12(310)
Конфигурация грани	V3.10.10
Двойственный многогранник	усечённый додекаэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	kI
Группа симметрии	Ih (икосаэдрическая)

Триакисикоса́эдр (от др.-греч. τριάχις — «трижды», εἴκοσι — «двадцать» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому додекаэдру. Составлен из 60 одинаковых тупоугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен $\arccos (-\frac{3+3\sqrt{5}}{20})\approx 119,04^{\circ },$ а два других $\arccos \frac{15+\sqrt{5}}{20}\approx 30,48^{\circ }.$

Имеет 32 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими острыми углами по 10 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся тупыми углами по 3 грани.

У триакисикосаэдра 90 рёбер — 30 «длинных» (расположенных так же, как рёбра икосаэдра) и 60 «коротких» (вместе образующих фигуру, изоморфную — но не идентичную — остову ромботриаконтаэдра). Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos (-\frac{24+15\sqrt{5}}{61})\approx 160,61^{\circ }.$

Триакисикосаэдр можно получить из икосаэдра, приложив к каждой его грани правильную треугольную пирамиду с основанием, равным грани икосаэдра, и высотой, которая в $\frac{5\sqrt{15}+9\sqrt{3}}{2}\approx 17,48$ раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 3 грани вместо каждой из 20 граней исходного — с чем и связано его название.

Триакисикосаэдр — одно из шести каталановых тел, в которых нет гамильтонова цикла; гамильтонова пути для всех шести также нет.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра триакисикосаэдра имеют длину $a$, то его «длинные» рёбра имеют длину $\frac{1}{10}(15+\sqrt{5})a\approx 1,72a,$ а площадь поверхности и объём выражаются как

Полувписанная сфера триакисикосаэдра

$S=3\sqrt{\frac{1}{2}(173-9\sqrt{5})}{a}^2\approx 26,2285960a^2,$

$V=\frac{1}{4}(19+13\sqrt{5})a^3\approx 12,0172209a^3.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{122}(477+199\sqrt{5})}a\approx 1,3745174a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho =\frac{1}{10}(5+4\sqrt{5})a\approx 1,3944272a.$

Описать около триакисикосаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Триакисикосаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.