Тетраэдр

Тетраэдр

Тетра́эдр (др.-греч. τετρά-εδρον «четырёхгранник» ← τέσσᾰρες / τέσσερες / τέττᾰρες / τέττορες / τέτορες «четыре» + ἕδρα «седалище, основание») — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Тетраэдр является треугольной пирамидой при принятии любой из граней за основание. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.

Свойства

• Параллельные плоскости, проходящие через три пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

• Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.

• Бимедианы тетраэдра пересекаются в той же самой точке, что и медианы тетраэдра.
  • Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся рёбер (не имеющих общих вершин).

• Центры сфер, которые проходят через три вершины и инцентр, лежат на сфере, центр которой совпадает с центром описанной сферы.
  • Также это утверждение верно и для внешних инцентров.

• Плоскости, которые проходят через середину ребра и перпендикулярны противоположному ребру,пересекаются в одной точке (ортоцентр).
  • Ортоцентр в симплексе определяется как пересечение гиперплоскостей, которые перпендикулярны ребру и проходят через центр тяжести противоположного элемента.

• Центр сферы(F),которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра, центр тяжести тетраэдра(M), центр описанной сферы(R) и ортоцентр (H) лежат на одной прямой. При этом $RM=MH=3\cdot MF$.

• Центр сферы (S) вписанный в дополнительный тетраэдр,центр сферы (N) вписанный в антидополнительный тетраэдр, центр тяжести тетраэдра (M) и центр вписанной сферы (I) лежат на одной прямой.

• Пусть точка G₁ делит отрезок соединяющий ортоцентр(H) и вершину 1 в отношении 1:2. Опустим перпендикуляр с точки G₁ на грань противолежащей вершине 1. Перпендикуляр пересекает грань в точке W₁. Точки G₁ и W₁ лежат на сфере (сфере Фейербаха), которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра.

• Сечение плоскостью, проходящей через середины четырёх рёбер тетраэдра, является параллелограммом.

Типы тетраэдров

Равногранный тетраэдр

Развёртка равногранного тетраэдра

Все грани его представляют собой равные между собой треугольники. Развёрткой равногранного тетраэдра является треугольник, разделённый тремя средними линиями на четыре равных треугольника. В равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек) (Аналог окружности Эйлера для треугольника).

Свойства равногранного тетраэдра:

• Все его грани равны (конгруэнтны).
• Скрещивающиеся рёбра попарно равны.
• Трёхгранные углы равны.
• Противолежащие двугранные углы равны.
• Два плоских угла, опирающихся на одно ребро, равны.
• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
• Развёртка тетраэдра — треугольник или параллелограмм.
• Описанный параллелепипед прямоугольный.
• Тетраэдр имеет три оси симметрии.
• Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны.
• Средние линии попарно перпендикулярны.
• Периметры граней равны.
• Площади граней равны.
• Высоты тетраэдра равны.
• Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, равны.
• Радиусы описанных около граней окружностей равны.
• Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы.
• Центр тяжести совпадает с центром вписанной сферы.
• Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной.
• Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих граней окружностей.
• Сумма внешних единичных нормалей (единичных векторов, перпендикулярных к граням) равна нулю.
• Сумма всех двугранных углов равна нулю.
• Центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере.

Ортоцентрический тетраэдр

Все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

• Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
• Основания высот тетраэдра являются ортоцентрами граней.
• Каждые два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны.
• Суммы квадратов противоположных рёбер тетраэдра равны.
• Отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, равны.
• Произведения косинусов противоположных двугранных углов равны.
• Сумма квадратов площадей граней вчетверо меньше суммы квадратов произведений противоположных рёбер.
• У ортоцентрического тетраэдра окружности 9 точек (окружности Эйлера) каждой грани принадлежат одной сфере (сфере 24 точек).
• У ортоцентрического тетраэдра центры тяжести и точки пересечения высот граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2:1, лежат на одной сфере (сфере 12 точек).

Прямоугольный тетраэдр

Все рёбра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой. Прямоугольный тетраэдр получается отсечением тетраэдра плоскостью от прямоугольного параллелепипеда.

Каркасный тетраэдр

Это тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий:

• существует сфера, касающаяся всех рёбер,
• суммы длин скрещивающихся рёбер равны,
• суммы двугранных углов при противоположных рёбрах равны,
• окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
• все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, — описанные,
• перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.

Соразмерный тетраэдр

У этого типа бивысоты равны.

Свойства соразмерного тетраэдра:

• Бивысоты равны. Бивысотами тетраэдра называют общие перпендикуляры к двум скрещивающимся его рёбрам (рёбрам, не имеющим общих вершин).
• Проекция тетраэдра на плоскость, перпендикулярную любой бимедиане, есть ромб. Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся рёбер (не имеющих общих вершин).
• Грани описанного параллелепипеда равновелики.
• Выполняются соотношения: $4a^2{a_1}^2-(b^2+{b_1}^2-c^2-{c_1}^2{)}^2=4b^2{b_1}^2-(c^2+{c_1}^2-a^2-{a_1}^2{)}^2=4c^2{c_1}^2-(a^2+{a_1}^2-b^2-(b_1{)}^2{)}^2$, где $a$ и $a_1$, $b$ и $b_1$, $c$ и $c_1$ — длины противоположных рёбер.
• Для каждой пары противоположных рёбер тетраэдра плоскости, проведённые через одно из них и середину второго, перпендикулярны.
• В описанный параллелепипед соразмерного тетраэдра можно вписать сферу.

Инцентрический тетраэдр

У этого типа отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке. Свойства инцентрического тетраэдра:

• Отрезки, соединяющие центры тяжести граней тетраэдра с противоположными вершинами (медианы тетраэдра), всегда пересекаются в одной точке. Эта точка — центр тяжести тетраэдра.
• Замечание. Если в последнем условии заменить центры тяжести граней на ортоцентры граней, то оно превратится в новое определение ортоцентрического тетраэдра. Если же заменить их на центры вписанных в грани окружностей, называемых иногда инцентрами, мы получим определение нового класса тетраэдров — инцентрических.
• Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
• Биссектрисы углов двух граней, проведённому к общему ребру этих граней, имеют общее основание.
• Произведения длин противоположных рёбер равны.
• Треугольник, образованный вторыми точками пересечения трёх рёбер, выходящих из одной вершины, с любой сферой, проходящей через три конца этих рёбер, является равносторонним.

Правильный тетраэдр

Это равногранный тетраэдр, у которого все грани — правильные треугольники. Является одним из пяти платоновых тел.

Свойства правильного тетраэдра:

• все рёбра тетраэдра равны между собой,
• все грани тетраэдра равны между собой,
• периметры и площади всех граней равны между собой.
• Правильный тетраэдр является одновременно ортоцентрическим, каркасным, равногранным, инцентрическим и соразмерным.
• Тетраэдр является правильным, если он принадлежит к двум любым видам тетраэдров из перечисленных: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный, равногранный.
• Тетраэдр является правильным, если он является равногранным и принадлежит к одному из следующих видов тетраэдров: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный.
• В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
• Правильный тетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) и четырёх тетраэдров (по вершинам), причём рёбра этих тетраэдров и октаэдра вдвое меньше рёбер правильного тетраэдра.
• Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
• Правильный тетраэдр можно вписать в додекаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами додекаэдра.
• Скрещивающиеся рёбра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.

Объём тетраэдра

• Объём тетраэдра (с учётом знака), вершины которого находятся в точках ${\mathbf{𝐫}}_1(x_1,y_1,z_1),$ ${\mathbf{𝐫}}_2(x_2,y_2,z_2),$ ${\mathbf{𝐫}}_3(x_3,y_3,z_3),$ ${\mathbf{𝐫}}_4(x_4,y_4,z_4),$ равен

$V=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{cccc}1& x_1& y_1& z_1\\ 1& x_2& y_2& z_2\\ 1& x_3& y_3& z_3\\ 1& x_4& y_4& z_4\end{array}\right|=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\\ x_4-x_1& y_4-y_1& z_4-z_1\end{array}\right|,$

или

$V=\frac{1}{3}SH,$

где $S$ — площадь любой грани, а $H$ — высота, опущенная на эту грань.

• Объём тетраэдра через длины рёбер выражается с помощью определителя Кэли-Менгера:

$288\cdot V^2=\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& d_{12}^2& d_{13}^2& d_{14}^2\\ 1& d_{12}^2& 0& d_{23}^2& d_{24}^2\\ 1& d_{13}^2& d_{23}^2& 0& d_{34}^2\\ 1& d_{14}^2& d_{24}^2& d_{34}^2& 0\end{array}\right|.$

• Эта формула имеет плоский аналог для площади треугольника в виде варианта формулы Герона через аналогичный определитель.
• Объём тетраэдра через длины двух противоположных рёбер a и b, как скрещивающихся линий, которые удалены на расстояние h друг от друга и образуют друг с другом угол $\varphi$, находится по формуле:

$V=\frac{1}{6}abh\sin \varphi .$

• Объём тетраэдра через длины трёх его рёбер a, b и c, выходящих из одной вершины и образующих между собой попарно соответственно плоские углы $\alpha ,\beta ,\gamma$, находится по формуле

$V=\frac{1}{6}abc\sqrt{D},$

где $$D=\left|\begin{array}{ccc}1& \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1& \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1\end{array}\right|.$$

• Аналогом для плоскости последней формулы является формула площади треугольника через длины двух его сторон a и b, выходящих из одной вершины и образующих между собой угол $\gamma$:

$S=\frac{1}{2}ab\sqrt{D},$

где $D=\left|\begin{array}{cc}1& \cos \gamma \\ \cos \gamma & 1\\ \end{array}\right|.$

Формулы тетраэдра в декартовых координатах в пространстве

Обозначения:

${\mathbf{𝐫}}_1(x_1,y_1,z_1),$ ${\mathbf{𝐫}}_2(x_2,y_2,z_2),$${\mathbf{𝐫}}_3(x_3,y_3,z_3),$${\mathbf{𝐫}}_4(x_4,y_4,z_4)$ — координаты вершин тетраэдра.

• Объём тетраэдра (с учётом знака):

$V=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{cccc}1& x_1& y_1& z_1\\ 1& x_2& y_2& z_2\\ 1& x_3& y_3& z_3\\ 1& x_4& y_4& z_4\end{array}\right|$.

• Координаты центра тяжести (пересечение медиан): ${\mathbf{𝐫}}_T(x_T,y_T,z_T)$

$x_T=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4};$$y_T=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4};$$z_T=\frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}.$

• Координаты центра вписанной сферы: ${\mathbf{𝐫}}_r(x_r,y_r,z_r)$

$x_r=\frac{S_1{x}_1+S_2{x}_2+S_3{x}_3+S_4{x}_4}{S_1+S_2+S_3+S_4};$$y_r=\frac{S_1{y}_1+S_2{y}_2+S_3{y}_3+S_4{y}_4}{S_1+S_2+S_3+S_4};$$z_r=\frac{S_1{z}_1+S_2{z}_2+S_3{z}_3+S_4{z}_4}{S_1+S_2+S_3+S_4},$

где $S_1$ — площадь грани, противолежащей первой вершине, $S_2$ — площадь грани, противолежащей второй вершине и так далее.

Соответственно уравнение вписанной сферы:

$(x-\frac{S_1{x}_1+S_2{x}_2+S_3{x}_3+S_4{x}_4}{S_1+S_2+S_3+S_4}{)}^2+(y-\frac{S_1{y}_1+S_2{y}_2+S_3{y}_3+S_4{y}_4}{S_1+S_2+S_3+S_4}{)}^2+(z-\frac{S_1{z}_1+S_2{z}_2+S_3{z}_3+S_4{z}_4}{S_1+S_2+S_3+S_4}{)}^2=(\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}{)}^2,$

Уравнение вневписанной сферы, противолежащей первой вершине:

$(x-\frac{-S_1{x}_1+S_2{x}_2+S_3{x}_3+S_4{x}_4}{-S_1+S_2+S_3+S_4}{)}^2+(y-\frac{-S_1{y}_1+S_2{y}_2+S_3{y}_3+S_4{y}_4}{-S_1+S_2+S_3+S_4}{)}^2+(z-\frac{-S_1{z}_1+S_2{z}_2+S_3{z}_3+S_4{z}_4}{-S_1+S_2+S_3+S_4}{)}^2=(\frac{3V}{-S_1+S_2+S_3+S_4}{)}^2,$

Уравнение вневписанной сферы, противолежащей первой и второй вершинам (количество таких сфер может варьироваться от нуля до трёх):

$(x-\frac{-S_1{x}_1-S_2{x}_2+S_3{x}_3+S_4{x}_4}{-S_1-S_2+S_3+S_4}{)}^2+(y-\frac{-S_1{y}_1-S_2{y}_2+S_3{y}_3+S_4{y}_4}{-S_1-S_2+S_3+S_4}{)}^2+(z-\frac{-S_1{z}_1-S_2{z}_2+S_3{z}_3+S_4{z}_4}{-S_1-S_2+S_3+S_4}{)}^2=(\frac{3V}{-S_1-S_2+S_3+S_4}{)}^2,$

• Уравнение описанной сферы:

$\left|\begin{array}{ccccc}{x}^2+y^2+z^2& x& y& z& 1\\ x_1^2+y_1^2+z_1^2& x_1& y_1& z_1& 1\\ x_2^2+y_2^2+z_2^2& x_2& y_2& z_2& 1\\ x_3^2+y_3^2+z_3^2& x_3& y_3& z_3& 1\\ x_4^2+y_4^2+z_4^2& x_4& y_4& z_4& 1\end{array}\right|=0.$

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах

Обозначения:

$\mathbf{𝐉}({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)={\alpha }_1{\mathbf{J}}_{\mathbf{𝟏}}+{\alpha }_2{\mathbf{J}}_{\mathbf{𝟐}}+{\alpha }_3{\mathbf{J}}_{\mathbf{𝟑}}+{\alpha }_4{\mathbf{J}}_{\mathbf{𝟒}},$ — барицентрические координаты.

• Объём тетраэдра (с учётом знака): Пусть ${\mathbf{𝐉}}_1(x_1,y_1,z_1,t_1),{\mathbf{𝐉}}_2(x_2,y_2,z_2,t_2),{\mathbf{𝐉}}_3(x_3,y_3,z_3,t_3),{\mathbf{𝐉}}_4(x_4,y_4,z_4,t_4).$ — координаты вершин тетраэдра.

Тогда

$V=\frac{\left|\begin{array}{cccc}{x}_1& y_1& z_1& t_1\\ x_2& y_2& z_2& t_2\\ x_3& y_3& z_3& t_3\\ x_4& y_4& z_4& t_4\\ \end{array}\right|}{(x_1+y_1+z_1+t_1)(x_2+y_2+z_2+t_2)(x_3+y_3+z_3+t_3)(x_4+y_4+z_4+t_4)}{V}^{\prime },$ где $V^{\prime }$ — объем базисного тетраэдра.

• Координаты центра тяжести (пересечение медиан): ${\mathbf{𝐉}}_T(1,1,1,1).$

• Координаты центра вписанной сферы: ${\mathbf{𝐉}}_r(S_1,S_2,S_3,S_4).$

• Координаты центра описанной сферы:

${\mathbf{𝐉}}_R=\left|\begin{array}{ccccc}0& {\mathbf{J}}_{\mathbf{𝟏}}& {\mathbf{J}}_{\mathbf{𝟐}}& {\mathbf{J}}_{\mathbf{𝟑}}& {\mathbf{J}}_{\mathbf{𝟒}}\\ 1& 0& {\alpha }_{2,1}^2& {\alpha }_{3,1}^2& {\alpha }_{4,1}^2\\ 1& {\alpha }_{2,1}^2& 0& {\alpha }_{3,2}^2& {\alpha }_{4,2}^2\\ 1& {\alpha }_{3,1}^2& {\alpha }_{3,2}^2& 0& {\alpha }_{4,3}^2\\ 1& {\alpha }_{4,1}^2& {\alpha }_{4,2}^2& {\alpha }_{4,3}^2& 0\\ \end{array}\right|.$

• Расстояние между точками ${\mathbf{𝐉}}_A(A_1,A_2,A_3,A_4),{\mathbf{𝐉}}_B(B_1,B_2,B_3,B_4)$:

Пусть $C_1=\frac{A_1}{A_1+A_2+A_3+A_4}-\frac{B_1}{B_1+B_2+B_3+B_4};C_2=\frac{A_2}{A_1+A_2+A_3+A_4}-\frac{B_2}{B_1+B_2+B_3+B_4}$ и так далее.

Тогда расстояние между двумя точками: $d^2=-(C_1{C}_2{\alpha }_{1,2}^2+C_1{C}_3{\alpha }_{1,3}^2+C_1{C}_4{\alpha }_{1,4}^2+C_2{C}_3{\alpha }_{2,3}^2+C_2{C}_4{\alpha }_{2,4}^2+C_3{C}_4{\alpha }_{3,4}^2).$

Сравнение формул треугольника и тетраэдра

Площадь(Объём)
$S=\sqrt{-\frac{1}{16}\left|\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 1& 0& a^2& b^2\\ 1& a^2& 0& c^2\\ 1& b^2& c^2& 0\\ \end{array}\right|}$	$V=\sqrt{\frac{1}{288}\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& {\alpha }_{2,1}^2& {\alpha }_{3,1}^2& {\alpha }_{4,1}^2\\ 1& {\alpha }_{2,1}^2& 0& {\alpha }_{3,2}^2& {\alpha }_{4,2}^2\\ 1& {\alpha }_{3,1}^2& {\alpha }_{3,2}^2& 0& {\alpha }_{4,3}^2\\ 1& {\alpha }_{4,1}^2& {\alpha }_{4,2}^2& {\alpha }_{4,3}^2& 0\\ \end{array}\right|}$, где ${\alpha }_{1,2}$ — расстояние между вершинами 1 и 2
$S=\frac{1}{2}a{h}_a$	$V=\frac{1}{3}{S}_1{H}_1$
$S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$	$V=\frac{2}{3}\frac{S_1{S}_2}{{\alpha }_{3,4}}\sin ({\varphi }_{1,2})$, где ${\varphi }_{1,2}$ — угол между гранями 1 и 2, $S_1$ и $S_2$ — площади граней, противолежащие вершинам 1 и 2
Длина(площадь) биссектрисы
$l_c=\frac{2ab\cos \frac{\gamma }{2}}{a+b}$	$L_{1,2}=\frac{2S_1{S}_2\cos (\frac{{\varphi }_{1,2}}{2})}{S_1+S_2}$
Длина медианы
$m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}$	$m_1=\frac{\sqrt{3({\alpha }_{1,2}^2+{\alpha }_{1,3}^2+{\alpha }_{1,4}^2)-({\alpha }_{2,3}^2+{\alpha }_{2,4}^2+{\alpha }_{3,4}^2)}}{3}$
Радиус вписанной окружности(сферы)
$r=\frac{2S}{a+b+c}$	$r=\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}$
Радиус описанной окружности(сферы)
$R=\frac{abc}{4S}$	$R=\frac{S_T}{6V}$, где $S_T$ — площадь треугольника со сторонами ${\alpha }_{1,2}{\alpha }_{3,4},{\alpha }_{1,3}{\alpha }_{2,4},{\alpha }_{1,4}{\alpha }_{2,3}$
Теорема косинусов
$\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$	$\cos ({\varphi }_{1,2})=\frac{A_{1,2}}{16S_1{S}_2}$, где ${\varphi }_{1,2}$ — угол между гранями 1 и 2, $S_1$ и $S_2$ — площади граней, противолежащие вершинам 1 и 2, $A_{1,2}$ — алгебраическое дополнение элемента ${\alpha }_{2,1}^2$ матрицы $\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& {\alpha }_{2,1}^2& {\alpha }_{3,1}^2& {\alpha }_{4,1}^2\\ 1& {\alpha }_{2,1}^2& 0& {\alpha }_{3,2}^2& {\alpha }_{4,2}^2\\ 1& {\alpha }_{3,1}^2& {\alpha }_{3,2}^2& 0& {\alpha }_{4,3}^2\\ 1& {\alpha }_{4,1}^2& {\alpha }_{4,2}^2& {\alpha }_{4,3}^2& 0\\ \end{array}\right)$
Теорема синусов
$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$	$\frac{S_1}{{\mathrm{\Psi }}_1}=\frac{S_2}{{\mathrm{\Psi }}_2}=\frac{S_3}{{\mathrm{\Psi }}_3}=\frac{S_4}{{\mathrm{\Psi }}_4}$, где $S_1,S_2,S_3,S_4$ — площади граней, противолежащие вершинам 1, 2, 3, 4, $\mathrm{\Psi }=\sqrt{\left|\begin{array}{ccc}1& -\cos (A)& -\cos (B)\\ -\cos (A)& 1& -\cos (C)\\ -\cos (B)& -\cos (C)& 1\\ \end{array}\right|}$, где $A,B,C$ — двугранные углы вершины.
Теорема о сумме углов треугольника(соотношение между двугранными углами тетраэдра)
$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$	$\left|\begin{array}{cccc}1& -\cos \left({\varphi }_{2,1}\right)& -\cos \left({\varphi }_{3,1}\right)& -\cos \left({\varphi }_{4,1}\right)\\ -\cos \left({\varphi }_{2,1}\right)& 1& -\cos \left({\varphi }_{3,2}\right)& -\cos \left({\varphi }_{4,2}\right)\\ -\cos \left({\varphi }_{3,1}\right)& -\cos \left({\varphi }_{3,2}\right)& 1& -\cos \left({\varphi }_{4,3}\right)\\ -\cos \left({\varphi }_{4,1}\right)& -\cos \left({\varphi }_{4,2}\right)& -\cos \left({\varphi }_{4,3}\right)& 1\\ \end{array}\right|=0$, где ${\varphi }_{1,2}$ — угол между гранями 1 и 2
Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей (сфер)
$R^2-d^2=2Rr$	$R^2-d^2=\frac{S_1{S}_2{\alpha }_{1,2}^2+S_1{S}_3{\alpha }_{1,3}^2+S_1{S}_4{\alpha }_{1,4}^2+S_2{S}_3{\alpha }_{2,3}^2+S_2{S}_4{\alpha }_{2,4}^2+S_3{S}_4{\alpha }_{3,4}^2}{(S_1+S_2+S_3+S_4{)}^2}$, где $S_1,S_2,S_3,S_4$ — площади граней, противолежащие вершинам 1, 2, 3, 4. Другая запись выражения: $R^2-d^2=2rT,$ где $T$ — расстояние между центром описанной сферы и центром сферы, проходящая через три вершины и инцентр.

Тетраэдр в неевклидовых пространствах

Объём неевклидовых тетраэдров

Существует множество формул нахождения объёма неевклидовых тетраэдров. Например, формула Деревнина — Медных для гиперболического тетраэдра и формула Дж. Мураками для сферического тетраэдра. Объём тетраэдра в сферическом пространстве и в пространстве Лобачевского, как правило, не выражается через элементарные функции.

Соотношение между двугранными углами тетраэдра

$\det \mathrm{\Psi }>0$ — для сферического тетраэдра.

$\det \mathrm{\Psi }<0$ — для гиперболического тетраэдра.

Где $\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{cccc}1& -\cos (A_{2,1})& -\cos (A_{3,1})& -\cos (A_{4,1})\\ -\cos (A_{2,1})& 1& -\cos (A_{3,2})& -\cos (A_{4,2})\\ -\cos (A_{3,1})& -\cos (A_{3,2})& 1& -\cos (A_{4,3})\\ -\cos (A_{4,1})& -\cos (A_{4,2})& -\cos (A_{4,3})& 1\\ \end{array}\right)$ — матрица Грама для двугранных углов сферического и гиперболического тетраэдра.

$A_{i,j}$ — угол между гранями, противолежащими i и j вершине.

Теорема косинусов

$\cos (A_{i,j})=-\frac{{\mathrm{\Phi }}_{i,j}}{\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{i,i}{\mathrm{\Phi }}_{j,j}}}$ — для сферического и гиперболического тетраэдра.

$\cos ({\alpha }_{i,j})=\frac{{\mathrm{\Psi }}_{i,j}}{\sqrt{{\mathrm{\Psi }}_{i,i}{\mathrm{\Psi }}_{j,j}}}$ — для сферического тетраэдра.

$\mathrm{ch}({\alpha }_{i,j})=\frac{{\mathrm{\Psi }}_{i,j}}{\sqrt{{\mathrm{\Psi }}_{i,i}{\mathrm{\Psi }}_{j,j}}}$ — для гиперболического тетраэдра.

Где $\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{cccc}1& \cos ({\alpha }_{2,1})& \cos ({\alpha }_{3,1})& \cos ({\alpha }_{4,1})\\ \cos ({\alpha }_{2,1})& 1& \cos ({\alpha }_{3,2})& \cos ({\alpha }_{4,2})\\ \cos ({\alpha }_{3,1})& \cos ({\alpha }_{3,2})& 1& \cos ({\alpha }_{4,3})\\ \cos ({\alpha }_{4,1})& \cos ({\alpha }_{4,2})& \cos ({\alpha }_{4,3})& 1\\ \end{array}\right)$ — матрица Грама для приведённых рёбер сферического тетраэдра.

$\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{cccc}1& \mathrm{ch}({\alpha }_{2,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{3,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,1})\\ \mathrm{ch}({\alpha }_{2,1})& 1& \mathrm{ch}({\alpha }_{3,2})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,2})\\ \mathrm{ch}({\alpha }_{3,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{3,2})& 1& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,3})\\ \mathrm{ch}({\alpha }_{4,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,2})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,3})& 1\\ \end{array}\right)$ — матрица Грама для приведённых рёбер гиперболического тетраэдра.

${\alpha }_{i,j}$ — приведенное расстояние между i и j вершин.

${\mathrm{\Psi }}_{i,j}$ — алгебраическое дополнение матрицы $\mathrm{\Psi }$.

Теорема синусов

$\frac{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}}{{\mathrm{\Psi }}_{1,1}}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}}{{\mathrm{\Psi }}_{2,2}}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}{{\mathrm{\Psi }}_{3,3}}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}{{\mathrm{\Psi }}_{4,4}}$ — для сферического и гиперболического тетраэдра.

Радиус описанной сферы

$\left|\begin{array}{ccccc}1& \cos ({\alpha }_{2,1})& \cos ({\alpha }_{3,1})& \cos ({\alpha }_{4,1})& 1\\ \cos ({\alpha }_{2,1})& 1& \cos ({\alpha }_{3,2})& \cos ({\alpha }_{4,2})& 1\\ \cos ({\alpha }_{3,1})& \cos ({\alpha }_{3,2})& 1& \cos ({\alpha }_{4,3})& 1\\ \cos ({\alpha }_{4,1})& \cos ({\alpha }_{4,2})& \cos ({\alpha }_{4,3})& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& \frac{1}{{\cos }^2(R)}\\ \end{array}\right|=0$ — для сферического тетраэдра.

Другая запись выражения: $\frac{1}{\cos (R)}=\frac{|\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}}\overrightarrow{n_1}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}}\overrightarrow{n_2}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}\overrightarrow{n_3}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\overrightarrow{n_4}|}{\sqrt{\det \mathrm{\Phi }}}$, где $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2},\overrightarrow{n_3},\overrightarrow{n_4}$ нормали граней тетраэдра.

Или с координатами вершин тетраэдра: $\frac{1}{\cos (R)}=\frac{|\left|\begin{array}{ccccc}0& \overrightarrow{i_1}& \overrightarrow{i_2}& \overrightarrow{i_3}& \overrightarrow{i_4}\\ 1& X_1& Y_1& Z_1& T_1\\ 1& X_2& Y_2& Z_2& T_2\\ 1& X_3& Y_3& Z_3& T_3\\ 1& X_4& Y_4& Z_4& T_4\\ \end{array}\right||}{\sqrt{\det \mathrm{\Phi }}}$.

$\left|\begin{array}{ccccc}1& \mathrm{ch}({\alpha }_{2,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{3,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,1})& 1\\ \mathrm{ch}({\alpha }_{2,1})& 1& \mathrm{ch}({\alpha }_{3,2})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,2})& 1\\ \mathrm{ch}({\alpha }_{3,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{3,2})& 1& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,3})& 1\\ \mathrm{ch}({\alpha }_{4,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,2})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,3})& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& \frac{1}{{\mathrm{ch}}^2(R)}\\ \end{array}\right|=0$ — для гиперболического тетраэдра

Радиус вписанной сферы

$\frac{1}{{\sin }^2(r)}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}+{\mathrm{\Phi }}_{2,2}+{\mathrm{\Phi }}_{3,3}+{\mathrm{\Phi }}_{4,4}+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}{\mathrm{\Phi }}_{2,2}}\cos ({\alpha }_{1,2})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}\cos ({\alpha }_{1,3})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\cos ({\alpha }_{1,4})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}\cos ({\alpha }_{2,3})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\cos ({\alpha }_{2,4})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{3,3}{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\cos ({\alpha }_{3,4})}{\det \mathrm{\Phi }}$ — для сферического тетраэдра.

Другая запись выражения: $\frac{1}{\sin (r)}=\frac{|\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}}\overrightarrow{r_1}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}}\overrightarrow{r_2}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}\overrightarrow{r_3}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\overrightarrow{r_4}|}{\sqrt{\det \mathrm{\Phi }}}$, где $\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2},\overrightarrow{r_3},\overrightarrow{r_4}$ единичные радиус векторы вершин тетраэдра.

$\frac{1}{{\mathrm{sh}}^2(r)}=-\frac{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}+{\mathrm{\Phi }}_{2,2}+{\mathrm{\Phi }}_{3,3}+{\mathrm{\Phi }}_{4,4}+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}{\mathrm{\Phi }}_{2,2}}\mathrm{ch}({\alpha }_{1,2})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}\mathrm{ch}({\alpha }_{1,3})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\mathrm{ch}({\alpha }_{1,4})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}\mathrm{ch}({\alpha }_{2,3})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\mathrm{ch}({\alpha }_{2,4})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{3,3}{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\mathrm{ch}({\alpha }_{3,4})}{\det \mathrm{\Phi }}$ — для гиперболического тетраэдра.

Расстояние между центрами вписанной и описанной сфер

$\frac{\cos (d)}{\sin (r)\cos (R)}=\frac{\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}}{\sqrt{\det \mathrm{\Phi }}}$ — для сферического тетраэдра.

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах

• Координаты центра вписанной сферы:

${\mathbf{𝐉}}_r(\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}},\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}},\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{3,3}},\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}).$ — для сферического тетраэдра.

• Координаты центра описанной сферы:

${\mathbf{𝐉}}_R=\left|\begin{array}{ccccc}0& {\mathbf{J}}_{\mathbf{𝟏}}& {\mathbf{J}}_{\mathbf{𝟐}}& {\mathbf{J}}_{\mathbf{𝟑}}& {\mathbf{J}}_{\mathbf{𝟒}}\\ 1& 1& \cos ({\alpha }_{1,2})& \cos ({\alpha }_{1,3})& \cos ({\alpha }_{1,4})\\ 1& \cos ({\alpha }_{2,1})& 1& \cos ({\alpha }_{2,3})& \cos ({\alpha }_{2,4})\\ 1& \cos ({\alpha }_{3,1})& \cos ({\alpha }_{3,2})& 1& \cos ({\alpha }_{3,4})\\ 1& \cos ({\alpha }_{4,1})& \cos ({\alpha }_{4,2})& \cos ({\alpha }_{4,3})& 1\\ \end{array}\right|.$ — для сферического тетраэдра.

Тетраэдры в микромире

• Правильный тетраэдр образуется при sp³-гибридизации атомных орбиталей (их оси направлены в вершины правильного тетраэдра, а ядро центрального атома расположено в центре описанной сферы правильного тетраэдра), поэтому немало молекул, в которых такая гибридизация центрального атома имеет место, имеют вид этого многогранника.
• Молекула метана СН₄.
• Ион аммония NH₄⁺.
• Сульфат-ион SO₄^2-, фосфат-ион PO₄^3-, перхлорат-ион ClO₄^- и многие другие ионы.
• Алмаз C — тетраэдр с ребром, равным 2,5220 ангстрем.
• Флюорит CaF₂, тетраэдр с ребром, равным 3,8626 ангстрем.
• Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром, равным 3,823 ангстрем.
• Оксид цинка, ZnO.
• Комплексные ионы [BF₄] ^-, [ZnCl₄]^2-, [Hg(CN)₄]^2-, [Zn(NH3)₄]²⁺.
• Силикаты, в основе структур которых лежит кремнекислородный тетраэдр [SiO₄]^4-.

Тетраэдры в живой природе

Тетраэдр из грецких орехов

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Тетраэдры в технике

• Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм,Стержни испытывают только продольные нагрузки.
• Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
• Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр.

Тетраэдры в философии

«Платон говорил, что наименьшие частицы огня суть тетраэдры».

Светское общество. Одна из дам pассказывает свой сон:

- Господа, я сегодня видела стpашный сон! Как будто я засовываю палец в

pот - а там нет ни одного зуба!

Ржевский:

- Мадам - вы, веpоятно, не туда палец засунули (тетраэдр)...

См. также

• Симплекс — n-мерный тетраэдр
• Тетраэдр Мейсснера
• Тетраэдр Рёло
• Треугольник

Литература

• Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант», № 9, 1988 г. С.66.
• Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.2009 г.