Икосододекаэдр

Икосододекаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
-
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный, квазиправильный
Комбинаторика
Элементы	32 грани 60 рёбер 30 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 12 пятиугольников
Конфигурация вершины	3.5.3.5
Двойственный многогранник	ромботриаконтаэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	aD
Символ Шлефли	r{3,5}
Группа симметрии	Ih (икосаэдрическая)

Икосододека́эдр — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников.

В каждой из его 30 одинаковых вершин сходятся две пятиугольных грани и две треугольных. Телесный угол при вершине равен $\pi +\arccos \frac{3+16\sqrt{5}}{45}\approx 1,17\pi .$

Икосододекаэдр имеет 60 рёбер равной длины. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos (-\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{15}})\approx 142,62^{\circ }.$

Икосододекаэдр можно получить из икосаэдра, «срезав» с него 12 правильных пятиугольных пирамид; либо из додекаэдра, «срезав» с него 20 правильных треугольных пирамид; либо как пересечение имеющих общий центр икосаэдра и додекаэдра.

Иллюстрация Леонардо да Винчи к трактату Луки Пачоли «О божественной пропорции» (1509)

В координатах

Икосододекаэдр с длиной ребра $2$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• $(0;0;\pm 2\mathrm{\Phi }),$
• $(\pm 1;\pm \mathrm{\Phi };\pm {\mathrm{\Phi }}^2),$

где $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — отношение золотого сечения.

Начало координат $(0;0;0)$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если икосододекаэдр имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=(5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2\approx 29,3059828a^2,$

$V=\frac{1}{6}(45+17\sqrt{5})a^3\approx 13,8355259a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})a=\mathrm{\Phi }a\approx 1,6180340a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}a\approx 1,5388418a.$

Вписать в икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри икосододекаэдра с ребром $a$ (она будет касаться только всех пятиугольных граней в их центрах), равен

$r_5=\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}a\approx 1,3763819a.$

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит $r_5$ и равно

$r_3=\sqrt{\frac{7+3\sqrt{5}}{6}}a\approx 1,5115226a.$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Икосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447. — 568 с. — 20 000 экз.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.