Правильные многомерные многогранники

Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.

История

Классификация правильных многомерных многогранников была получена Людвигом Шлефли.

Определение

Флагом n-мерного многогранника $P$ называется набор его граней $F=(F_0,F_1,\dots ,F_{n-1})$, где $F_i$ есть $i$-мерная грань многогранника Р, причем $F_i\subseteq F_{n-1}$ для $i=1,2,\dots ,n-1$.

Правильный n-мерный многогранник — это выпуклый n-мерный многогранник $P$, у которого для любых двух его флагов $F$ и $F^{\prime }$ найдётся движение $P$, переводящее $F$ в $F^{\prime }$.

Классификация

Размерность 4

Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):

Название	Изображение (диаграмма Шлегеля)	Символ Шлефли	Ячейка	Число ячеек	Число граней	Число рёбер	Число вершин
Пятиячейник		{3,3,3}	правильный тетраэдр	5	10	10	5
Тессеракт		{4,3,3}	куб	8	24	32	16
Шестнадцатиячейник		{3,3,4}	правильный тетраэдр	16	32	24	8
Двадцатичетырёхячейник		{3,4,3}	октаэдр	24	96	96	24
Стодвадцатиячейник		{5,3,3}	додекаэдр	120	720	1200	600
Шестисотячейник		{3,3,5}	правильный тетраэдр	600	1200	720	120

Размерности 5 и выше

В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника (политопа):

Название	Символ Шлефли
n-мерный правильный симплекс	{3;3;...;3;3}
n-мерный гиперкуб	{4;3;...;3;3}
n-мерный гипероктаэдр	{3;3;...;3;4}

Геометрические свойства

Углы

Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим символом Шлефли $\{p_1,p_2,p_3,\dots ,p_{N-3},p_{N-2},p_{N-1}\}$, определяется по формуле:

${\sin }^2\beta =\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{p_{n-1}}}{1-\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{p_{n-2}}}{1-\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{p_{n-3}}}{\frac{\ddots }{1-\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{p_3}}{1-\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{p_2}}{1-{\cos }^2\frac{\pi }{p_1}}}}}}}$

где $\beta$ — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника

Радиусы, объёмы

Радиус вписанной N-мерной сферы:

$r_N=r_{N-1}\mathrm{tg}\beta ,$

где $r_{N-1}$ — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.

Объём N-мерного многогранника:

$V_N=\frac{1}{N}{V}_{N-1}{A}_{N-1}{r}_N,$

где $V_{N-1}$ — объём (N-1)-мерной грани, $A_{N-1}$ — количество (N-1)-мерных граней.

Замощения

В размерности n = 4

• Тессерактовые соты
• Шестнадцатиячейниковые соты
• Двадцатичетырёхячейниковые соты

В размерности n ≥ 5

• Гиперкубические соты

См. также

• Платоново тело
• Список правильных многогранников и соединений

Ссылки

• Наглядный пример на YouTube

• Regular Polytopes (Platonic solids) in 4D  (неопр.) (2003). Дата обращения: 30 января 2011. Архивировано из оригинала 4 мая 2012 года.

• Е. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники. — М.: МЦНМО, 2009. — 48 с. — ISBN 978-5-94057-525-2.

• Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — 1988. — Т. 29. — С. 147–259.