Факторгруппа

Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.

Факторгруппа группы $G$ по нормальной подгруппе $H$ обычно обозначается $G/H$.

Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру этого гомоморфизма.

Определение

Пусть $G$ — группа, $H$ — её нормальная подгруппа и $a\in G$ — произвольный элемент. Тогда на классах смежности $H$ в $G$

$aH=\{ah\mid h\in H\}$

можно ввести умножение:

$(aH)(bH)=abH$

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если $aH=a^{\prime }H$ и $bH=b^{\prime }H$, то $abH=a^{\prime }{b}^{\prime }H$. Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа $G/H$ называется факторгруппой $G$ по $H$.

Свойства

• Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма $\phi :G\to K$

$G/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi \cong \phi (G)$,

то есть факторгруппа $G$ по ядру $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$ изоморфна её образу $\phi (G)$ в $K$.

• Отображение $a\mapsto aH$ задаёт естественный гомоморфизм $G\to G/H$.
• Порядок $G/H$ равен индексу подгруппы $[G:H]$. В случае конечной группы $G$ он равен $|G|/|H|$.
• Если $G$ абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и $G/H$ будет обладать тем же свойством.
• $G/G$ изоморфна тривиальной группе ($\{e\}$), $G/e$ изоморфна $G$.

Примеры

• Пусть $G=\mathbb{\mathbb{Z}}$, $H=n\mathbb{\mathbb{Z}}$, тогда $G/H$ изоморфна ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_n$.
• Пусть $G={\mathbf{𝐔}\mathbf{𝐓}}_n$ (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), $H={\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐔}\mathbf{𝐓}}_n$ (группа верхних унитреугольных матриц), тогда $G/H$ изоморфна группе диагональных матриц.
• Пусть $G=S_4$ (симметрическая группа), $H=V_4$ (четверная группа Клейна, состоящая из перестановок e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) тогда $G/H$ изоморфна $S_3$.
• Пусть $G=S_n$ (симметрическая группа), $H=A_n$ (знакопеременная группа), тогда $G/H$ изоморфна ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_2$.
• Пусть $G=Q_8$ (группа кватернионов), $H={\mathbb{\mathbb{Z}}}_2$(циклическая группа, состоящая из 1, −1), тогда $G/H$ изоморфна $V_4$.

Вариации и обобщения

• Фактормножество
• Факторкольцо
• Факторалгебра

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7.