Теоремы Силова

В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Силовом в 1872 г.

Определения[править]

Пусть $G$ — конечная группа, а $p$ — простое число, которое делит порядок $G$ . Подгруппы порядка $p^{t}$ называются $p$ -подгруппами.

Выделим из порядка группы $G$ максимальную степень $p$ , то есть $| G | = p^{n} s$ , где $s$ не делится на $p$ . Тогда силовской $p$ -подгруппой называется подгруппа $G$ , имеющая порядок $p^{n}$ .

Теоремы[править]

Пусть $G$ — конечная группа. Тогда:

Силовская $p$ -подгруппа существует.
Всякая $p$ -подгруппа содержится в некоторой силовской $p$ -подгруппе. Все силовские $p$ -подгруппы сопряжены (то есть каждая представляется в виде $g P g^{- 1}$ , где $g$ — элемент группы, а $P$ — силовская подгруппа из теоремы 1).
Количество силовских $p$ -подгрупп $N_{p}$ сравнимо с единицей по модулю $p$ ( $N_{p} \equiv 1 m o d p$ ) и делит $s$ , где $| G | = p^{k} s$ и $(p, s) = 1$ .

Следствие[править]

Если все делители $| G |$ , кроме 1, после деления на $p$ дают остаток, отличный от единицы, то в $G$ есть единственная силовская $p$ -подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой. $350 = 2 \cdot 5^{2} \cdot 7$ , значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. $N_{5}$ должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в $G$ одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому $G$ не может быть простой.

Доказательства[править]

Пусть $p^{n}$ — примарный по $p$ делитель порядка $G$ .

1. Докажем теорему индукцией по порядку $G$ . При $| G | = p$ теорема верна. Пусть теперь $| G | > p$ . Пусть $Z (G)$ — центр группы $G$ . Возможны два случая:

а) $p$ делит $| Z |$ . Тогда в центре существует циклическая группа $⟨ a ⟩_{p^{k}}$ (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в $G$ . Факторгруппа $G$ по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем $G$ , значит, по предположению индукции, в ней существует силовская $p$ -подгруппа. Рассмотрим её прообраз в $G$ . Он и будет нужной нам силовской $p$ -подгруппой $G$ .

б) $p$ не делит $| Z |$ . Тогда рассмотрим разбиение $G$ на классы сопряжённости: $| G | = | Z | + \sum | K_{a} |$ (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок $G$ делится на $p$ , значит, должен найтись класс $K_{a}$ , порядок которого не делится на $p$ . Соответствующий ему централизатор $Z_{G} (a)$ имеет порядок $p^{n} r$ , $r < s$ . Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская $p$ -подгруппа — она и будет искомой.

2. Пусть $H$ — произвольная $p$ -подгруппа $G$ . Рассмотрим её действие на множестве левых классов смежности $G / P$ левыми сдвигами, где $P$ — силовская $p$ -подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делиться на $p$ . Но $| G / P |$ не делится на $p$ , значит, у действия есть неподвижная точка $g P$ . Получаем $\forall h \in H h g a = g a^{'}, a, a^{'} \in P$ , а значит, $h = g a^{'} a^{- 1} g^{- 1} \in g P g^{- 1}$ , то есть $H$ лежит целиком в некоторой силовской $p$ -подгруппе.

Если при этом $H$ — силовская $p$ -подгруппа, то она сопряжена с $P$ .

3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:N_G(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg^-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в N_G(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем $N_{p} \equiv 1 (\mod p)$ .

Нахождение силовской подгруппы[править]

Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

Литература[править]

А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.