Простая группа

Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы.

Конечные простые группы полностью классифицированы в 1982 году.

В теории бесконечных групп значение простых групп значительно меньше ввиду их необозримости.

В теории групп Ли и алгебраических групп определение простой группы несколько отличается от приведенного, см. простая группа Ли.

Примеры

Конечные простые группы

Циклическая группа $G=\mathbb{\mathbb{Z}}/5\mathbb{\mathbb{Z}}$ проста. Действительно, если $H$ — подгруппа $G$, то порядок $H$ по теореме Лагранжа должен делить порядок $G$, равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть $H$ либо тривиальна, либо совпадает с $G$. Наоборот, группа $\mathbb{\mathbb{Z}}/12\mathbb{\mathbb{Z}}$ простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа $\mathbb{\mathbb{Z}}$ целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в $\mathbb{\mathbb{Z}}$. Аналогично из теоремы Лагранжа следует, что все простые абелевы группы — это в точности циклические группы простого порядка.

Классификация простых неабелевых групп существенно сложнее. Простая неабелева группа наименьшего порядка — знакопеременная группа $A_5$ порядка 60, при этом любая простая группа порядка 60 изоморфна $A_5$. Более того, простыми являются все группы $A_n$ при $n⩾5$. Следующая по количеству элементов простая неабелева группа после $A_5$— специальная проективная группа $PSL(2,7)$ порядка 168. Можно доказать, что любая простая группа порядка 168 изоморфна $PSL(2,7)$.

Бесконечные простые группы

Простой является группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов бесконечного множества $X$; в частности, если множество $X$счётно, это бесконечная знакопеременная группа $A_{\mathrm{\infty }}$. Ещё одним семейством примером служат $PS{L}_n(\mathbb{𝔽})$, где поле $\mathbb{𝔽}$ бесконечно и $n⩾2$.

Существуют конечно порождённые и даже конечно определённые бесконечные простые группы.

Свойства

• Всякая группа вложима в простую группу.

См. также

• Простая группа Ли