Ядро (алгебра)

Ядро в алгебре — характеристика отображения $f : A \to B$ , обозначаемая $\ker f$ , отражающая отличие $f$ от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента $e$ . Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения $f$ множество $\ker f$ всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из $A$ ).

Если множества $A$ и $B$ обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то $\ker f$ также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ $I m f$ и фактормножество $A / \ker f$ .

Ядро линейного отображения[править]

Ядром линейного отображения $f : V \to U$ называется прообраз нулевого элемента пространства $U$ :

\ker f = {x \in V : f (x) = 0} .

$\ker f$ является подпространством в $V$ . Оно всегда содержит нулевой элемент пространства $V$ . Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ $f$ изоморфен факторпространству $V$ по ядру $f$ :

I m f ≃ V / \ker f .

Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность $V$ конечна:

\dim I m f = \dim V - \dim \ker f,

а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:

f^{- 1} (u) = v_{0} + \ker f, f (v_{0}) = u, v_{0} \in V, u \in U .

Всякий базис ядра называется фундаментальной системой решений.

Теория матриц[править]

Любую прямоугольную матрицу $G$ размера $m \times n$ , содержащую элементы поля $K$ (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор $g : 𝕂^{n} \to 𝕂^{m}$ умножения векторов слева на матрицу:

g (v) = G v, v \in 𝕂^{n}

Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с $n$ неизвестными

{\begin{matrix} a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}; \\ \dots \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} . \end{matrix}

можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора $𝐛 = (b_{1}, \dots, b_{m})$ , а задача о решении однородной системы уравнений ( $𝐛 = 𝟎$ ) сводится к поиску ядра отображения $g$ .

Пример[править]

Пусть $f$ будет линейным отображением $f : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ и:

f (\vec{x}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \end{matrix}) .

Тогда его ядро является векторным подпространством:

\ker f = {(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ λ \end{matrix}) \in ℝ^{3} ∣ λ \in ℝ} .

Гомоморфизм групп[править]

Если $f$ — гомоморфизм между группами, то $\ker f$ образует нормальную подгруппу $A$ .

Гомоморфизм колец[править]

Если $f$ — гомоморфизм между кольцами, то $\ker f$ образует идеал кольца $A$ .

См. также[править]

Коядро

Литература[править]

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.