Шар

Шар

Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Связанные определения

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы

Площадь поверхности $S$ и объём $V$ шара радиуса $r$ (и диаметром $d=2r$) определяются формулами:

• $S=4\pi r^2$

• $S=\pi d^2$

• $V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Доказательство

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке $(0;0)$. Уравнение окружности этого круга : $x^2+y^2=R^2$, откуда $y^2=R^2-x^2$.

Функция $y=\sqrt{R^2-x^2},x\in (0;R)$ непрерывная, убывающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

$\frac{1}{2}V=\pi \underset{0}{\overset{R}{\int }}(R^2-x^2)dx=\pi \cdot (R^{2}x-\frac{x^3}{3}){|}_0^R=\pi \cdot (R^3-\frac{R^3}{3})=\frac{2}{3}\pi R^3$

Откуда $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ Ч. т. д.

• $V=\frac{\pi d^3}{6}$

Доказательство

$d=2r,V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \frac{d^3}{8}=\frac{\pi d^3}{6}$ Ч. т. д.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство $(X,\rho )$. Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке $x_0\in X$ и радиусом $r>0$ называется множество

$B_r(x_0)=\{x\in X\mid \rho (x,x_0)<r\}.$

• Замкнутым шаром с центром в $x_0$ и радиусом $r$ называется множество

$D_r(x_0)=\{x\in X\mid \rho (x,x_0)⩽r\}.$

Замечания

Шар радиуса $r$ с центром $x_0$ также называют $r$-окрестностью точки $x_0$.

Свойства

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой $\rho$.
• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой $\rho$.
• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке $X$ являют собой её базу.
• Очевидно, $B_r(x_0)\subset D_r(x_0)$. Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: $\overline{B_r(x_0)}\ne D_r(x_0).$
  • Например: пусть $(X,\rho )$ — дискретное метрическое пространство, и $X$ состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого $x\in X$ имеем:

$B_1(x)=\{x\},\overline{B_1(x)}=\{x\},D_1(x)=X.$

Объём

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:

$V_n(R)=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}{R}^n,$

где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

$V_{2k}(R)=\frac{{\pi }^k}{k!}{R}^{2k}$,

$V_{2k+1}(R)=\frac{2^{k+1}{\pi }^k}{(2k+1)!!}{R}^{2k+1}=\frac{2(k!)(4\pi {)}^k}{(2k+1)!}{R}^{2k+1}$.

Знаком !! здесь обозначен двойной факториал.

Эти формулы также можно свести в одну общую:

$V_n(R)=\frac{2^{\left[\frac{n+1}{2}\right]}{\pi }^{\left[\frac{n}{2}\right]}}{n!!}{R}^n$.

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

$R_n(V)=\frac{\mathrm{\Gamma }(n/2+1{)}^{1/n}}{\sqrt{\pi }}{V}^{1/n}$.

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

$R_{2k}(V)=\frac{(k!V{)}^{1/2k}}{\sqrt{\pi }}$,

$R_{2k+1}(V)={\left(\frac{(2k+1)!!V}{2^{k+1}{\pi }^k}\right)}^{1/(2k+1)}$.

Рекурсия

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности $n-2$ (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

$V_n(R)=\frac{2\pi R^2}{n}{V}_{n-2}(R)$.

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

$V_n(R)=R\sqrt{\pi }\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{n+1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}{V}_{n-1}(R)$.

То же без гамма-функции:

$\begin{array}{rl}{V}_{2k}(R)& =R\pi \frac{(2k-1)!!}{2^{k}k!}{V}_{2k-1}(R)=R\pi \frac{(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{V}_{2k-1}(R),\\ V_{2k+1}(R)& =2R\frac{2^{k}k!}{(2k+1)!!}{V}_{2k}(R)=2R\frac{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{V}_{2k}(R).\end{array}$

Пространства младших размерностей

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений	Объём шара радиуса R	Радиус шара объёма V
1	$2R$	$V/2$
2	$\pi R^2$	$\frac{V^{1/2}}{\sqrt{\pi }}$
3	$\frac{4\pi }{3}{R}^3$	${\left(\frac{3V}{4\pi }\right)}^{1/3}$
4	$\frac{{\pi }^2}{2}{R}^4$	$\frac{(2V{)}^{1/4}}{\sqrt{\pi }}$
5	$\frac{8{\pi }^2}{15}{R}^5$	${\left(\frac{15V}{8{\pi }^2}\right)}^{1/5}$
6	$\frac{{\pi }^3}{6}{R}^6$	$\frac{(6V{)}^{1/6}}{\sqrt{\pi }}$
7	$\frac{16{\pi }^3}{105}{R}^7$	${\left(\frac{105V}{16{\pi }^3}\right)}^{1/7}$
8	$\frac{{\pi }^4}{24}{R}^8$	$\frac{(24V{)}^{1/8}}{\sqrt{\pi }}$
9	$\frac{32{\pi }^4}{945}{R}^9$	${\left(\frac{945V}{32{\pi }^4}\right)}^{1/9}$
10	$\frac{{\pi }^5}{120}{R}^{10}$	$\frac{(120V{)}^{1/10}}{\sqrt{\pi }}$

Пространства старших размерностей

Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

Примеры

• Пусть ${\mathbb{ℝ}}^d$ — евклидово пространство с обычным евклидовым расстоянием. Тогда

• если $d=1$ (пространство — прямая), то

$B_r(x_0)=\{x\in \mathbb{ℝ}\mid |x-x_0|<r\}=(x_0-r,x_0+r),$

$D_r(x_0)=\{x\in \mathbb{ℝ}\mid |x-x_0|\le r\}=[x_0-r,x_0+r].$

 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.

• если $d=2$ (пространство — плоскость), то

  $B_r((x_0,y_0))=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2\mid \sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<r\},$

  $D_r((x_0,y_0))=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2\mid \sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}\le r\}$

 — открытый и замкнутый диск соответственно.

• если $d=3$, то

  $B_r((x_0,y_0,z_0))=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3\mid \sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}<r\},$

  $D_r((x_0,y_0,z_0))=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3\mid \sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}\le r\}$

 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

• В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве ${\mathbb{ℝ}}^d$ метрику следующим образом:

  $\rho (x,y)=\sum _{i=1}^d\Vert x_i-y_i\Vert ,x=(x_1,\dots ,x_d{)}^{\mathrm{\top }},y=(y_1,\dots ,y_d{)}^{\mathrm{\top }}\in {\mathbb{ℝ}}^d.$

Тогда

• если $d=2$, то $U_r(x_0)$ — это открытый квадрат с центром в точке $x_0$ и сторонами длины $\sqrt{2}$, расположенными по диагонали к координатным осям.
• если $d=3$, то $U_r(x_0)$ — это открытый трёхмерный октаэдр.

См. также

• Шаровой слой
• Гиперсфера
• Сферический слой

Литература

• Шар, геометрическое тело // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки на онлайн калькуляторы

• Вычисление объема и площади шара  (неопр.). Дата обращения: 12 марта 2012. Архивировано из оригинала 8 августа 2011 года.
• Онлайн-калькуляторы  (неопр.). Дата обращения: 2 июля 2019. Архивировано из оригинала 9 января 2019 года.
• Математические этюды  (неопр.). Дата обращения: 20 октября 2011. Архивировано из оригинала 18 октября 2011 года. Мультфильм про объём шара