Круг

Круг, граничная окружность и радиус

Круг — часть плоскости, которая лежит внутри окружности. Другими словами, это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа $R.$ Число $R$ называется радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку. Круг, имеющий толщину (незначительную по сравнению с радиусом), нередко называют диском.

Границей круга по определению является окружность. Открытый круг (внутренность круга) получится, если потребовать строгое неравенство: расстояние до центра $<R$. При нестрогом ($⩽$) неравенстве получается определение замкнутого круга, который содержит и точки граничной окружности.

Связанные определения

• Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с его границей.
• Диаметр — отрезок, соединяющий две точки границы круга и содержащий его центр.
• Сектор — пересечение круга и некоторого его центрального угла, то есть часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
• Сегмент — часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой.
• Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Эти и другие элементы круга, а также соотношения между ними описаны в статье Окружность.

Свойства

• При вращении плоскости относительно центра круг переходит сам в себя.
• Круг является выпуклой фигурой.
• Площадь круга радиуса $R$ вычисляется по формуле: $S=\pi R^2$, где $\pi$ ≈ 3.14159….
• Площадь сектора равна $S=\frac{\alpha R^2}{2}$, где α — угловая величина дуги в радианах, $R$ — радиус.
• Периметр круга (длина граничной окружности): $L=2\pi R$.
• (Изопериметрическое неравенство) Круг является фигурой, имеющей наибольшую площадь при заданном периметре. Или, что то же самое, обладающей наименьшим периметром при заданной площади.

История

История исследования свойств круга и окружности, а также применение этих свойств в человеческой практике уходит в глубокую древность; особенную важность придало этой теме изобретение колеса. Ещё в древности было открыто, что отношение длины окружности к её диаметру (число π) одно и то же для всех окружностей.

Исторически важной темой многовековых исследований было уточнение этого отношения, а также попытки решить проблему «квадратуры круга». В дальнейшем развитие исследований привело к созданию тригонометрии, теории колебаний и многих других практически важных разделов науки и техники.

Обобщения

Понятие круга является одним из универсальных математических понятий, дословно обобщаемым на случай произвольных метрических пространств. В отличие от случая евклидовых пространств, при произвольных метриках они могут быть весьма причудливо устроены — в частности, в случае дискретной метрики можно построить пример, когда открытый круг с данным радиусом совпадает с замкнутым. Однако некоторые свойства всё же сохраняются: выпуклость и наличие центральной симметрии.

Например, если в качестве метрики взять так называемую «городскую» метрику, то есть $\rho ((x_1,y_1);(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$, то единичным кругом с центром в нуле, как легко увидеть, будет квадрат с вершинами $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.

Литература

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Дополнительные главы к учебнику 8 класса // Геометрия. — 3-е издание. — М.: Вита-Пресс, 2003.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.