Ориентация

Ориента́ция, в классическом случае — выбор одного класса систем координат, связанных между собой «положительно» в некотором определённом смысле. Каждая система задает ориентацию, определяя класс, к которому она принадлежит.

В элементарной математике ориентация часто описывается через понятие «направления по и против часовой стрелки».

Ориентация определяется только для некоторых специальных классов пространств (многообразий, векторных расслоений, комплексов Пуанкаре^[англ.] и т. д.). Современный взгляд на ориентацию даётся в рамках обобщённых теорий когомологий.

Конечномерное векторное пространство[править]

В случае векторного пространства конечной размерности над полем вещественных чисел две системы координат считаются связанными положительно, если положителен определитель матрицы перехода от одной из них к другой.

Замечания[править]

Для общего поля определение ориентации представляет трудности. Например, в комплексном пространстве $ℂ^{n}$ комплексный базис $e_{1}, e_{2}, . . ., e_{n}$ определяет вещественный базис $e_{1}, e_{2}, . . ., e_{n}, i e_{1}, i e_{2}, . . ., i e_{n}$ в том же пространстве, рассматриваемом как $ℝ^{2 n}$ , и все такие базисы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря, комплексная структура задаёт ориентацию в $ℝ^{2 n}$ ).

Вариации и обобщения[править]

Аффинное пространство[править]

На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве $A$ системы координат состоят из точки (начала $O$ ) и репера ${e_{i}}$ , переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).

Две системы координат определяют одну и ту же ориентацию, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует непрерывно зависящее от параметра $t \in [0, 1]$ семейство координатных систем $O (t)$ , ${e_{i} (t)}$ , связывающее данные системы $O$ , ${e_{i}}$ и $O^{'}$ , ${e'_{i}}$ .

При отражении в гиперплоскости системы двух классов переходят друг в друга.

Ориентация может быть задана порядком вершин $n$ -мерного симплекса (треугольника в двумерном случае, тетраэдра в трёхмерном), Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера. Два порядка задают одну ориентацию, тогда и только тогда, когда они отличаются на чётную перестановку. Симплекс с фиксированным с точностью до чётной перестановки порядком вершин называется ориентированным. Каждая $(n - 1)$ -грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительный.

Многообразия[править]

В связном многообразии $M$ системой координат служит атлас — набор карт, покрывающих $M$ . Атлас называется ориентирующим, если координатные преобразования все положительны. Это означает, что их степени равны $+ 1$ , а в случае дифференцируемого многообразия положительны якобианы преобразования во всех точках. Если ориентирующий атлас существует, то многообразие $M$ называется ориентируемым. В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, тогда и только тогда, когда атласы принадлежат одному классу. Выбор такого класса называется ориентацией многообразия. Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной ориентации в точке. В случае дифференцируемого многообразия локальную ориентацию можно задать указанием репера в касательной плоскости в точке. Если $M$ имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края берётся репер, ориентирующий $M$ , первый вектор которого направлен из $M$ , а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.

Дезориентирующий контур[править]

Дезориентирующий контур — замкнутая кривая в многообразии, обладающая тем свойством, что при её обходе локальная ориентация меняет знак.

Дезориентирующий контур имеется только в неориентируемом многообразии $M$ , причём однозначно определён гомоморфизм фундаментальной группы $π_{1} (M)$ на $ℤ_{2}$ с ядром, состоящим из классов петель, не являющихся дезориентирующими.

Вдоль любого пути $q : [0, 1] \to M$ можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты связаны положительно. Тем самым ориентация в точке $q (0)$ определяет ориентацию в точке $q (1)$ , и эта связь зависит от пути $q$ лишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах. Если $q$ — петля, то есть $q (0) = q (1) = x_{0}$ , то $q$ называется дезориентирующим контуром, если эти ориентации противоположны. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы $π_{1} (M, x_{0})$ в группу порядка $2$ : дезориентирующие петли переходят в $- 1$ , а остальные в $+ 1$ . По этому гомоморфизму строится накрытие, являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия. Оно называется ориентирующим (так как накрывающее пространство будет ориентируемым). Этот же гомоморфизм определяет над $M$ одномерное расслоение, тривиальное, тогда и только тогда, когда $M$ ориентируемо. Для дифференцируемого $M$ оно может быть определено как расслоение $Ω^{n} (M)$ дифференциальных форм порядка $n = \dim M$ . Ненулевое сечение в нём существует лишь в ориентируемом случае и задаёт форму объёма на $M$ и одновременно ориентацию.

На языке гомологий[править]

Ориентация может быть определена на гомологическом языке: для связного ориентируемого многообразия без края группа гомологий $H^{n} (M, ℤ)$ (с замкнутыми носителями) изоморфна $ℤ$ , и выбор одной из двух образующих задаёт ориентацию — отбираются карты с положительными степенями отображений. Для связного многообразия с краем то же верно и для $H^{n} (M, \partial M, ℤ)$ . В первом случае ориентируемость есть гомотопический инвариант M, а во втором — пары $(M, \partial M)$ . Так, лист Мёбиуса и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопический тип, но разный — относительно края.

Локальная ориентация многообразия может быть также задана выбором образующей в группе $H^{n} (M, M ∖ x_{0}, ℤ)$ , изоморфной $ℤ$ Гомологическая интерпретация ориентации позволяет перенести это понятие на обобщённые гомологические многообразия.

Псевдомногообразия[править]

Триангулированное многообразие $M$ (или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать все $n$ -мерные симплексы так, что два симплекса с общей $(n - 1)$ -мерной гранью индуцируют на ней противоположные ориентации. Замкнутая цепочка $n$ -мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую $(n - 1)$ -грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи — противоположные.

Расслоения[править]

Пусть над пространством $B$ задано расслоение $p : E \to B$ со стандартным слоем $F$ . Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определённое путём в $B$ однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв — ориентацией расслоения. Например, лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.

Бесконечномерные пространства[править]

Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации. В качестве такой подгруппы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.

См. также[править]