Расслоение

Расслоение — тройка $(X, π, B)$ , где $X$ — топологическое пространство, называемое пространством расслоения (а также тотальным или расслоённым пространством), $B$ — другое пространство, называемое базой расслоения, $π$ — непрерывное сюръективное отображение (проекция расслоения) $π : X \to B$ пространства $X$ в пространство $B$ . Часто расслоением называют само отображение $π$ или пространство $X$ .

Для каждого элемента $b \in B$ определяется слой над этим элементом как подмножество $F_{b} \subset X$ всех прообразов элемента $b \in B$ , то есть $F_{b} = π^{- 1} ({b})$ . Соответственно расслоение представляет собой объединение $F$ слоёв $F_{b}$ , параметризованных базой $B$ и склеенных топологией пространства $X$ .

Отображение $h : B \to X$ такое, что $π \circ h$ ― тождественное отображение на $B$ называется сечением расслоения $π : X \to B$ ,

Типы расслоений[править]

Как правило, изучаются конкретные типы расслоений, такие как гладкое расслоение или локально тривиальное расслоение.

Расслоение называется тривиальным (выглядящим как прямое произведение), если его пространство гомеоморфно прямому произведению $B \times F$ , а проекция задаётся каноническим образом: $π (b, f) = b, b \in B, f \in F$

Соответственно расслоение, локально (в некоторых окрестностях элементов) выглядящее как прямое произведение, называется локально-тривиальным расслоением.

Локально-тривиальное расслоение называется гладким, если функции переходов являются гладкими.

Векторное расслоение — отображение семейства векторных пространств в другое пространство (топологическое пространство, многообразие и так далее) $X$ так, что каждой точке $x$ пространства $X$ сопоставляется векторное пространство $V_{x}$ , объединение которых образует пространство такого же типа, что и $X$ . Образованное таким образом семейство векторных пространств называемое пространством векторного расслоения над $X$ .

Касательное расслоение (гладкого) многообразия $M$ — это гладкое векторное расслоение, где в качестве семейства векторных пространств (пространства векторного расслоения) выступает объединение касательных пространств $T M$ , а в качестве базы расслоения — само многообразие.

Некоторые другие специальные виды расслоений: расслоение Гуревича, расслоение Зейферта, расслоение Серра, расслоение Хопфа.

Литература[править]

Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.1. — М.: Наука, 1981. — 344 с.