Сюръекция

Сюръективная функция.

Сюръе́кция или сюръекти́вное отображе́ние (от фр. sur «на, над» + лат. jacio «бросаю») — отображение множества $X$ на множество $Y$ $(f:X\to Y)$, при котором каждый элемент множества $Y$ является образом хотя бы одного элемента множества $X$, то есть $\mathrm{\forall }y\in Y\mathrm{\exists }x\in X:y=f(x)$; иными словами — функция, принимающая все возможные значения. Иногда говорят, что сюръективное отображение $f:X\to Y$ отображает $X$ на $Y$ (инъективное отображение в общем случае отображает $X$ в $Y$).

Отображение $f:X\to Y$ сюръективно тогда и только тогда, когда образ множества $X$ при отображении $f$ совпадает с $Y$: $f(X)=Y$. Также сюръективность функции $f$ эквивалентна существованию правого обратного отображения к $f$.

Строго говоря, понятие сюръекции $f:X\to Y$ привязано к множеству $Y$: корректно говорить вместо обычно допускаемой вольности речи «сюръекция» точное «сюръекция на $Y$». Фактически понятно, что каждое отображение является сюръекцией на свой образ: если $Z=\{y:f(x)=y\}$, то $f:X\to Y$ — сюръекция на $Z$, поскольку формально также $f:X\to Z$ по определению отображения.

Понятие сюръекции (наряду с инъекцией и биекцией) введено в обиход в трудах Бурбаки и получило всеобщее распространение практически во всех разделах математики.

Примеры

• $f:\mathbb{ℝ}\to [-1;1],f(x)=\sin x$ — сюръективно. В тоже время, $\sin :\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ не является сюръекцией. Действительно, если $b=3$, то уравнение $\sin (x)=3$ не имеет решений. Множеством значений функции $\sin$ является замкнутая область $[-1,1]$, которая меньше области значения.
• $f:\mathbb{ℝ}\to {\mathbb{ℝ}}_{+},f(x)=x^2$ — сюръективно.
• $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ},f(x)=x^2$ — не является сюръективным (например, не существует такого $x\in \mathbb{ℝ}$, что $f(x)=-9$).

Применение

• В топологии важное понятие расслоения определяется как произвольное непрерывное сюръективное отображение топологических пространств (расслоённого пространства в базу расслоения).
• Организация связи «многие к одному» между таблицами в сущностях реляционной модели данных может быть рассмотрена как сюръективная функция.

Обобщения

• В теории категории понятие сюръекции обобщено в понятии эпиморфизма, притом в некоторых категориях эти понятия совпадают.

Литература

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. (недоступная ссылка)
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.