Сферичность

Схематичное представление различия форм частиц. Показаны два параметра: сферичность (чем выше объект, тем больше сферичность) и круглость (чем правее объект, тем больше круглость).

Сфери́чность — количественная мера того, насколько сферическим (круглым) является объект.

Определённая Х. Уоделлом (H. Wadell) в 1935 году сферичность $\mathrm{\Psi }$ частицы представляет собой отношение площади поверхности сферы (того же объёма, что и данная частица) к площади поверхности частицы:

$\mathrm{\Psi }=\frac{{\pi }^{\frac{1}{3}}(6V_p{)}^{\frac{2}{3}}}{A_p},$

где $V_p$ равно объёму частицы и $A_p$ равно площади поверхности частицы. Сферичность сферы равна единице по определению, а вследствие изопериметрического неравенства сферичность любого другого тела меньше единицы.

Вывод формулы

Хакон Уоделл определил сферичность как отношение площади поверхности сферы равного с данной частицей объёма к площади поверхности данной частицы. Рассмотрим сначала сферическую частицу, у которой площадь поверхности $A_s$, а её объём $V_p$ равен объёму исследуемой частицы.

Выразим площадь поверхности этой частицы $A_s$ через её объём $V_p$:

$A_s^3={\left(4\pi r^2\right)}^3=4^3{\pi }^3{r}^6=4\pi \left(4^2{\pi }^2{r}^6\right)=4\pi \cdot 3^2\left(\frac{4^2{\pi }^2}{3^2}{r}^6\right)=36\pi {\left(\frac{4\pi }{3}{r}^3\right)}^2=36\pi V_p^2.$

Следовательно,

$A_s={\left(36\pi V_p^2\right)}^{\frac{1}{3}}=36^{\frac{1}{3}}{\pi }^{\frac{1}{3}}{V}_p^{\frac{2}{3}}=6^{\frac{2}{3}}{\pi }^{\frac{1}{3}}{V}_p^{\frac{2}{3}}={\pi }^{\frac{1}{3}}{\left(6V_p\right)}^{\frac{2}{3}}.$

Тогда выражение сферичности $\mathrm{\Psi }$ для произвольной частицы, имеющей площадь поверхности $A_p$ и объём $V_p$, приобретает вид

$\mathrm{\Psi }=\frac{A_s}{A_p}=\frac{{\pi }^{\frac{1}{3}}{\left(6V_p\right)}^{\frac{2}{3}}}{A_p}.$

Примеры

Эллипсоидальные объекты

Сферичность $\mathrm{\Psi }$ сплюснутого сфероида равна

$\mathrm{\Psi }=\frac{{\pi }^{\frac{1}{3}}(6V_p{)}^{\frac{2}{3}}}{A_p}=\frac{2\sqrt[3]{a{b}^2}}{a+\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\ln \left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b}\right)},$

где a и b равны большой и малой полуосям сфероида.

Сферичность некоторых объектов

Название	Рисунок	Объём	Площадь поверхности	Сферичность
Платоновы тела
Тетраэдр		$\frac{\sqrt{2}}{12}{s}^3$	$\sqrt{3}{s}^2$	${\left(\frac{\pi }{6\sqrt{3}}\right)}^{\frac{1}{3}}\approx 0.671$
Куб (гексаэдр)		$s^3$	$6s^2$	${\left(\frac{\pi }{6}\right)}^{\frac{1}{3}}\approx 0.806$
Октаэдр		$\frac{1}{3}\sqrt{2}{s}^3$	$2\sqrt{3}{s}^2$	${\left(\frac{\pi }{3\sqrt{3}}\right)}^{\frac{1}{3}}\approx 0.846$
Додекаэдр		$\frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})s^3$	$3\sqrt{25+10\sqrt{5}}{s}^2$	${\left(\frac{{(15+7\sqrt{5})}^2\pi }{12{(25+10\sqrt{5})}^{\frac{3}{2}}}\right)}^{\frac{1}{3}}\approx 0.910$
Икосаэдр		$\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})s^3$	$5\sqrt{3}{s}^2$	${\left(\frac{{(3+\sqrt{5})}^2\pi }{60\sqrt{3}}\right)}^{\frac{1}{3}}\approx 0.939$
Тела с осевой симметрией
Конус $(h=2\sqrt{2}r)$		$\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ $=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi r^3$	$\pi r(r+\sqrt{r^2+h^2})$ $=4\pi r^2$	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{3}}\approx 0.794$
Полусфера		$\frac{2}{3}\pi r^3$	$3\pi r^2$	${\left(\frac{16}{27}\right)}^{\frac{1}{3}}\approx 0.840$
Цилиндр $(h=2r)$		$\pi r^{2}h=2\pi r^3$	$2\pi r(r+h)=6\pi r^2$	${\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{1}{3}}\approx 0.874$
Тор $(R=r)$		$2{\pi }^{2}R{r}^2=2{\pi }^2{r}^3$	$4{\pi }^{2}Rr=4{\pi }^2{r}^2$	${\left(\frac{9}{4\pi }\right)}^{\frac{1}{3}}\approx 0.894$
Сфера		$\frac{4}{3}\pi r^3$	$4\pi r^2$	$1$

См. также

• Изопериметрическое отношение