Эллипсоид вращения

Сфера — нормальный сфероид

Вытянутый сфероид

Сплюснутый сфероид

Эллипсо́ид враще́ния (сферо́ид) — поверхность вращения в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей.

Термин «сфероид» для обозначения двух вариантов эллипсоида вращения ввёл Архимед: «… мы полагаем следующее: если эллипс при сохранении неподвижной большей оси поворачивается, возвращаясь в исходное положение, то охватываемая им фигура будет называться вытянутым сфероидом (παραμακες σφαιροιδες). Если эллипс поворачивается при сохранении в неподвижности малой оси и возвращается назад, то охватываемая им фигура будет называться сплюснутым сфероидом (επιπλατυ σφαιροιδες).»

Эллипсоид вращения является частным случаем эллипсоида, две из трёх полуосей которого имеют одинаковую длину

($a_x=a_y=a$):

$\frac{x^2}{a_x^2}+\frac{y^2}{a_y^2}+\frac{z^2}{b^2}=\frac{{\rho }^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1.$

В частном случае, когда все три полуоси равны, исходный эллипс представляет собой окружность, а эллипсоид вращения вырождается в сферу.

Вытянутый эллипсоид вращения

Вытянутый эллипсоид вращения (вытянутый сфероид) можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна.

Зеркало в виде вытянутого эллипсоида вращения обладает следующим свойством: лучи света, исходящие из одного из фокусов эллипсоида, после отражения соберутся в другом фокусе.

Сплюснутый эллипсоид вращения

Сплюснутый эллипсоид вращения (сплюснутый сфероид) можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до ближайшей и до наиболее удалённой точки заданной окружности постоянна.

Основные формулы

• Площадь поверхности:

• сплюснутый эллипсоид вращения ($a>b$):

$S=2\pi a(a+\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\ln \left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b}\right))=2\pi a^2(1+\frac{1-e^2}{e}\mathrm{Arth}e)=2\pi a^2+\pi \frac{b^2}{e}\ln \left(\frac{1+e}{1-e}\right),$ где $e^2=1-\frac{b^2}{a^2};$

• вытянутый эллипсоид вращения ($a<b$):

$S=2\pi a(a+\frac{b^2}{\sqrt{b^2-a^2}}\arcsin \left(\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\right))=2\pi a^2(1+\frac{b}{ae}\arcsin e),$ где $e^2=1-\frac{a^2}{b^2}.$

• Объём:

$V=\frac{4}{3}\pi a^{2}b$

Примеры

Форма Земли — с хорошим приближением представляет собой сплюснутый эллипсоид вращения с $\frac{a}{b}\approx \frac{301}{299}$.

Применение

Свойство вытянутого эллипсоида вращения отражать лучи, направленные в один из фокусов, в другой фокус, используется в телескопах системы Грегори и в антеннах Грегори.

Слева — радиотелескоп РТ-70, исполненный по системе антенны Грегори.
Справа — оптическая схема телескопа Грегори; малое зеркало имеет форму вытянутого эллипсоида вращения