Факторсистема

Факторсистема в универсальной алгебре — объект, получаемый разбиением алгебраической системы на классы смежности отношением эквивалентности, стабильным по отношению к её основным операциям, и, соответственно, являющийся также алгебраической системой. Факторалгебра — факторсистема, получаемая над алгеброй (системой без отношений), фактормодель — факторсистема над моделью (системой без операций).

Факторсистема является обобщением алгебраических факторизаций: факторгруппа, факторкольцо, факторалгебра являются факторсистемами над группой, кольцом, алгеброй над полем соответственно.

Определение

Для алгебраической системы $\mathfrak{𝔄}=⟨A,F,R⟩$, $F=⟨f_1:A^{n_1}\to A,\dots f_i:A^{n_i}\to A,\dots ⟩$, $R=⟨r_1\subseteq A^{m_1},\dots r_i\subseteq A^{m_i},\dots ⟩$ и бинарного отношения $\sigma \subseteq A\times A$, являющегося конгруэнцией над $\mathfrak{𝔄}$, то есть, стабильного относительно каждой из основных операций $f_i\in F$ — из вхождения в отношение некоторого набора ${\mathrm{\forall }}_{j\in 1\dots n_i}(a_j,b_j)\in \sigma$ следует выполнение $(f(a_1,\dots a_{n_i}),f(b_1,\dots b_{n_i}))\in \sigma$ — факторсистема строится как алгебраическая система $\mathfrak{𝔄}/\sigma$, с носителем $A/\sigma$ — фактормножеством над $A$ относительно конгруэнции $\sigma$, следующим набором операций:

$⟨f_1^{\star }:(A/\sigma {)}^{n_1}\to A/\sigma ,\dots f_{n_i}^{\star }:(A/\sigma {)}^{n_i}\to A/\sigma ,\dots ⟩$

и следующим набором отношений:

$⟨r_1^{\star }\subseteq (A/\sigma {)}^{m_1},\dots r_{m_i}^{\star }\subseteq (A/\sigma {)}^{m_i},\dots ⟩$,

где ${\star }^{}$ означает переход к классам смежности относительно конгруэнции $\sigma$:

$f^{\star }([a_1{]}_{\sigma },\dots [a_n{]}_{\sigma })=[f(a_1,\dots a_n){]}_{\sigma }$ для операций и

$r^{\star }([a_1{]}_{\sigma },\dots [a_m{]}_{\sigma })\iff \mathrm{\exists }(b_1\in [a_1{]}_{\sigma },\dots b_m\in [a_m{]}_{\sigma })r(b_1,\dots b_m)$ для отношений

(класс смежности $[a{]}_{\sigma }$ — множество всех элементов, эквивалентных $a$ относительно $\sigma$: $\{b\in A\mid (a,b)\in \sigma \}$).

Таким образом, факторсистема $\mathfrak{𝔄}/\sigma$ является однотипной с системой $\mathfrak{𝔄}$. В определении принципиально, что стабильность факторизующего отношения требуется только для основных операций, но не для отношений системы: для операций стабильность необходима для однозначного перехода к классам смежности, тогда как переход к классам смежности для отношений вводится определением (существованием в каждом из классов смежности хотя бы по одному элементу, входящему в отношение).

Свойства

Естественное отображение $\varphi :A\to A/\sigma$, ставящее в соответствие элементу его класс смежности относительно конгруэнции: $\varphi (a)=[a{]}_{\sigma }$, является гомоморфизмом из $\mathfrak{𝔄}$ в факторсистему $\mathfrak{𝔄}/\sigma$.

Теорема о гомоморфзиме утверждает что для любого гомоморфизма $\varphi :\mathfrak{𝔄}(A,F,R)\to {\mathfrak{𝔄}}^{\prime }(A^{\prime },F^{\prime },R^{\prime })$ и его ядерной конгурэнции ${\sigma }_{\varphi }=\{(x,y)\in A\times A|\varphi (x)=\varphi (y)\}$ естественное отображение ${\varphi }^{\star }:\mathfrak{𝔄}/{\sigma }_{\varphi }\to {\mathfrak{𝔄}}^{\prime }$ (то есть ${\varphi }^{\star }([a{]}_{\sigma })=\varphi (a)$) является гомоморфизмом. Если гомоморфизм $\varphi$ является сильным, то есть для каждого предиката из $r{\text{'}}_k\in R^{\prime }$ и любого набора элементов $a{\text{'}}_1,\dots a{\text{'}}_n\in A^{\prime }$ из утверждения $(a{\text{'}}_1,\dots a{\text{'}}_n)\in r{\text{'}}_k$ вытекает существование таких прообразов $a_1\in {\varphi }^{-1}a{\text{'}}_1,\dots a_n\in {\varphi }^{-1}a{\text{'}}_n$, что $(a_1,\dots a_n)\in r_k$, то $\varphi$ является изоморфизмом. Таким образом, совокупность всех факторсистем заданной системы с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью всех её сильно гомоморфных образов. Для алгебр, не обладающих отношениями в сигнатуре, любой гомоморфизм является сильным, то есть набор факторалгебр заданной алгебры с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью её гомоморфных образов.

Литература

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Кон П. . Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
• Мальцев А. И. . Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.
• Grätzer, George. . Universal Algebra. 2nd edition. — Springer, 2008. — 585 p. — ISBN 978-0-387-77486-2.