Совершенная группа

Эта статья о свойстве групп, связанном с автоморфизмами; о свойстве, связанном с извлечением корня см. делимая группа.

Другое значение этого термина: группа, совпадающая со своим коммутантом

Совершенная группа ― группа $G$, такая что отображение $G\to Aut(G)$ является изоморфизмом. Это отображение посылает элемент $g\in G$ в автоморфизм сопряжения $s_g:h\to gh{g}^{-1}$. Инъективность этого отображения равносильна тривиальности центра, а сюръективность — тому, что каждый автоморфизм является внутренним.

Примерами являются симметрические группы $S_n$ при $n\ne 2,6$ (теорема Гёльдера); при этом группа $S_2={\mathbb{\mathbb{Z}}}_2$ имеет нетривиальный центр, а у группы $S_6$ существует внешний автоморфизм.

Автоморфизмы простой группы образуют почти простую группу, а автоморфизмы неабелевой простой группы — совершенную группу.

Не любая группа, изоморфная своей группе автоморфизмов, является совершенной — необходимо, чтобы изоморфизм осуществлялся отображением сопряжения. Примером группы, для которой $G=Aut(G)$, но которая не является совершенной, является группа диэдра $D_4$.

Литература

• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6 
• Rotman, Joseph J. (1994), An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8  (chapter 7, in particular theorems 7.15 and 7.17).

Ссылки

• Joel David Hamkins: How tall is the automorphism tower of a group?