Инъекция (математика)

Инъе́кция (инъекти́вное отображе́ние, взаимно однозначное отображение) в математике — отображение $f$ множества $X$ во множество $Y$ ( $f : X \to Y$ ), при котором разные элементы множества $X$ переводятся в разные элементы множества $Y$ , то есть если два образа при отображении совпадают, то и прообразы совпадают: $f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ .

Инъекцию также называют вложением, одно-однозначным отображением, взаимно-однозначным отображением (в отличие от биекции, которая является взаимно однозначным соответствием). В отличие от сюръекции, про которую говорят, что она отображает одно множество на другое, об инъекции $f : X \to Y$ аналогичная фраза формулируется как отображение $X$ в $Y$ .

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть $f : X \to Y$ инъективно, если существует $g : Y \to X$ , при котором композиция $g \circ f = {id}_{X}$ .

Понятие инъекции (наряду с сюръекцией и биекцией) введено в трудах Бурбаки и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.

Примеры[править]

$f : ℝ_{> 0} \to ℝ, f (x) = \ln x$ (натуральный логарифм) — инъективно и сюръективно (здесь $ℝ_{> 0}$ — множество положительных чисел).
$f : ℝ_{+} \to ℝ, f (x) = x^{2}$ — инъективно (при условии, что $ℝ_{+}$ — множество неотрицательных чисел).
$f : ℝ \to ℝ_{+}, f (x) = x^{2}$ — не является инъективным, так как $f (- 2) = f (2) = 4$ .
Функция $\sin : R \to R$ не является инъективной. Действительно, $\sin (0) = \sin (π) = 0$ , таким образом аргументы $0$ и $π$ соответствуют одному и тому же значению функции - $0$ . На самом деле, уравнение $\sin (x) = 0$ имеет бесконечное множество решений Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle ..., − 2\pi , −\pi ,0, \pi ,2\pi ,...}
Функция $f : ℝ \to ℝ$ ; $f (x) = x^{3}$ инъективна. Действительно, если $f (x) = f (y)$ то $x^{3} = y^{3}$ ; извлекая кубический корень получаем x = y. То есть единственным решением $f (x) = C$ является $x = \sqrt[3]{C}$ .
Функция $f : ℝ \to ℝ$ ; $f (x) = x^{3} - x$ не является инъективной. Действительно, $f (0) = f (1) = f (- 1) = 0$ , то есть аргументы $0, 1, - 1$ дают одно и тоже значение функции равное $0$ . Решениями уравнения $x^{3} - x = 0$ являются корни $f (x) = x (x - 1) (x + 1)$ , и это уравнение имеет три корня.

Применение[править]

Одним из прикладных примеров применения понятия инъекции является организация связи «один к одному» (взаимно однозначного отображения) между сущностями в реляционной модели данных.
Идеальная хеш-функция является инъективной.

Обобщения[править]

Обобщением понятия инъекции в теории категорий является понятие мономорфизма. Во многих категориях, хотя и не во всех, эти понятия эквивалентны.

Литература[править]

Н. К. Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. (недоступная ссылка)
Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.