Инъекция (математика)

Инъективная функция.

Инъе́кция (инъекти́вное отображе́ние, взаимно однозначное отображение) в математике — отображение $f$ множества $X$ во множество $Y$ ($f:X\to Y$), при котором разные элементы множества $X$ переводятся в разные элементы множества $Y$, то есть если два образа при отображении совпадают, то и прообразы совпадают: $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$.

Инъекцию также называют вложением, одно-однозначным отображением, взаимно-однозначным отображением (в отличие от биекции, которая является взаимно однозначным соответствием). В отличие от сюръекции, про которую говорят, что она отображает одно множество на другое, об инъекции $f:X\to Y$ аналогичная фраза формулируется как отображение $X$ в $Y$.

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть $f:X\to Y$ инъективно, если существует $g:Y\to X$, при котором композиция $g\circ f={\mathrm{id}}_X$.

Понятие инъекции (наряду с сюръекцией и биекцией) введено в трудах Бурбаки и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.

Примеры

• $f:{\mathbb{ℝ}}_{>0}\to \mathbb{ℝ},f(x)=\ln x$ (натуральный логарифм) — инъективно и сюръективно (здесь ${\mathbb{ℝ}}_{>0}$ — множество положительных чисел).
• $f:{\mathbb{ℝ}}_{+}\to \mathbb{ℝ},f(x)=x^2$ — инъективно (при условии, что ${\mathbb{ℝ}}_{+}$ — множество неотрицательных чисел).
• $f:\mathbb{ℝ}\to {\mathbb{ℝ}}_{+},f(x)=x^2$ — не является инъективным, так как $f(-2)=f(2)=4$.
• Функция $\sin :R\to R$ не является инъективной. Действительно, $\sin (0)=\sin (\pi )=0$, таким образом аргументы $0$ и $\pi$ соответствуют одному и тому же значению функции - $0$. На самом деле, уравнение $\sin (x)=0$ имеет бесконечное множество решений Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle ..., − 2\pi , −\pi ,0, \pi ,2\pi ,...}
• Функция $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$; $f(x)=x^3$ инъективна. Действительно, если $f(x)=f(y)$ то $x^3=y^3$; извлекая кубический корень получаем x = y. То есть единственным решением $f(x)=C$ является $x=\sqrt[3]{C}$.
• Функция $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$; $f(x)=x^3-x$ не является инъективной. Действительно, $f(0)=f(1)=f(-1)=0$, то есть аргументы $0,1,-1$ дают одно и тоже значение функции равное $0$. Решениями уравнения $x^3-x=0$ являются корни $f(x)=x(x-1)(x+1)$, и это уравнение имеет три корня.

Применение

• Одним из прикладных примеров применения понятия инъекции является организация связи «один к одному» (взаимно однозначного отображения) между сущностями в реляционной модели данных.
• Идеальная хеш-функция является инъективной.

Обобщения

• Обобщением понятия инъекции в теории категорий является понятие мономорфизма. Во многих категориях, хотя и не во всех, эти понятия эквивалентны.

Литература

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. (недоступная ссылка)
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.