Лямбда-матрица

Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени $l$, и нет элементов матрицы степени большей чем $l$, то $l$ — степень λ-матрицы.

$A\left(\lambda \right)=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}(\lambda )& a_{12}(\lambda )& \cdots & a_{1n}(\lambda )\\ a_{21}(\lambda )& a_{22}(\lambda )& \cdots & a_{2n}(\lambda )\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}(\lambda )& a_{n2}(\lambda )& \cdots & a_{nn}(\lambda )\end{array}\right],a_{ij}(\lambda )=a_{ij}^{(l)}{\lambda }^l+a_{ij}^{(l-1)}{\lambda }^{l-1}+\cdots +a_{ij}^{(1)}\lambda +a_{ij}^{(0)}.$

Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде:

$A\left(\lambda \right)=A_l{\lambda }^l+A_{l-1}{\lambda }^{l-1}+\cdots +A_1\lambda +A_0.$

В случае если определитель матрицы $A_l$ отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной.

Пример нерегулярной λ-матрицы:

$A\left(\lambda \right)=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }^4+{\lambda }^2+\lambda -1& {\lambda }^3+{\lambda }^2+\lambda +2\\ 2{\lambda }^3-\lambda & 2{\lambda }^2+2\lambda \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]{\lambda }^4+\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right]{\lambda }^3+\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right]{\lambda }^2+\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 2\end{array}\right]\lambda +\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& 0\end{array}\right].$

Алгебра λ-матриц

Сложение и умножение

λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица.

Пусть $A\left(\lambda \right)$ и $B\left(\lambda \right)$ — λ-матрицы порядков $l$ и $m$ соответственно, и $k=max(l,m)$, тогда

$A\left(\lambda \right)=A_k{\lambda }^k+A_{k-1}{\lambda }^{k-1}+\cdots +A_1\lambda +A_0$;

$B\left(\lambda \right)=B_k{\lambda }^k+B_{k-1}{\lambda }^{k-1}+\cdots +B_1\lambda +B_0$,

где хотя бы одна из матриц $A_k,B_k$ — ненулевая, имеем

$A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)=(A_k+B_k){\lambda }^k+(A_{k-1}+B_{k-1}){\lambda }^{k-1}+\cdots +(A_1+B_1)\lambda +(A_0+B_0)$;

$A\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=A_k{B}_k{\lambda }^{2k}+(A_k{B}_{k-1}+A_{k-1}{B}_k){\lambda }^{2k-1}+\cdots +(A_1{B}_0+A_0{B}_1)\lambda +(A_0{B}_0)$;

Деление

Предположим, что $B(\lambda )$ — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы $Q(\lambda ),R(\lambda )$ с $R(\lambda )\equiv 0$ или со степенью $R(\lambda )$, меньшей степени $B(\lambda )$, что

$A(\lambda )=Q(\lambda )B(\lambda )+R(\lambda )$.

В этом случае $Q(\lambda )$ называется правым частным $A(\lambda )$ при делении на $B(\lambda )$, а $R(\lambda )$ — правым остатком. Подобно этому $\hat{Q}(\lambda )$ и $\hat{R}(\lambda )$ — левое частное и левый остаток при делении $A(\lambda )$ на $B(\lambda )$, если

$A(\lambda )=B(\lambda )\hat{Q}(\lambda )+\hat{R}(\lambda )$

и $\hat{R}(\lambda )\equiv 0$ или степень $\hat{R}(\lambda )$ меньше степени $B(\lambda )$.

Если правый (левый) остаток равен 0, то $Q(\lambda )$ $(\hat{Q}(\lambda ))$ называется правым (левым) делителем $A(\lambda )$ при делении на $B(\lambda )$.

Если $B(\lambda )$ — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении $A(\lambda )$ на $B(\lambda )$ существуют и единственны.

λ-матрицы с матричными аргументами

Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное

$a_l{\lambda }^l+a_{l-1}{\lambda }^{l-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0={\lambda }^l{a}_l+{\lambda }^{l-1}{a}_{l-1}+\cdots +\lambda a_1+a_0$,

поэтому мы определяем правое значение $A(B)$ λ-матрицы $A(\lambda )$ в матрице $B$ как

$A\left(B\right)=A_l{B}^l+A_{l-1}{B}^{l-1}+\cdots +A_{1}B+A_0$, если $A\left(\lambda \right)=A_l{\lambda }^l+A_{l-1}{\lambda }^{l-1}+\cdots +A_1\lambda +A_0$;

и левое значение' $\hat{A}(B)$ как:

$\hat{A}\left(B\right)=B^l{A}_l+B^{l-1}{A}_{l-1}+\cdots +B{A}_1+A_0$,

и в общем случае $A(B)\ne \hat{A}(B)$.

Теорема Безу для λ-матриц

Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов: правым и левым остатком от деления λ-матрицы $A(\lambda )$ на $\lambda E-B$, где $E$ — единичная матрица является $A(B)$ и $\hat{A}(B)$ соответственно.

Свойство доказывается через разложение на множители:

${\lambda }^{j}E-B^j=({\lambda }^{j-1}E+{\lambda }^{j-2}B+\cdots +\lambda B^{j-2}+B^{j-1})(\lambda E-B)$,

при умножении обеих частей этого равенства на $A_j$ слева и сложении всех полученных равенств при $j=1,\cdots ,l$, правая часть будет иметь вид $C(\lambda )(\lambda E-B)$, где $C(\lambda )$ — некоторая λ-матрица. Левая часть равенства:

$\sum _{j=1}^l{\lambda }^j{A}_j-\sum _{j=1}^l{A}_j{B}^j=\sum _{j=0}^l{\lambda }^j{A}_j-\sum _{j=0}^l{A}_j{B}^j=A(\lambda )-A(B)$.

Таким образом:

$A(\lambda )=C(\lambda )(\lambda E-B)+A(B)$.

Результат теперь следует из единственности правого остатка. Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного на $A_j$ справа и суммированием.

Следствие: чтобы λ-матрица $A(\lambda )$ делилась без остатка на $\lambda E-B$ справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы $A(B)=0$ $(\hat{A}(B)=0)$.

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1966.
• Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.