AK-модель

AK-моде́ль (модель Ребело, англ. AK model) — эндогенная модель экономического ростa, в которой устойчивый экономический рост достигается за счет неубывающей предельной производительности капитала, понимаемого в модели как совокупность физического и человеческого капитала, в производстве инвестиционных товаров. AK-модель преодолела недостаток экзогенности темпов научно-технического прогресса, присущий неоклассическим моделям, и показала возможность негативного воздействия фискальной политики на долгосрочные темпы экономического роста. Однако сильная чувствительность темпов экономического роста к изменениям налоговой ставки, предполагаемая по модели, не подтверждается эмпирически. Также в модели не раскрывается целенаправленная деятельность экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли. Разработана в 1990 году Серджио Ребело.

История создания

В ранних неоклассических моделях экономического роста (модели Солоу и Рамсея — Касса — Купманса) темпы научно-технический прогресса, являющего источником экономического роста, задавались экзогенно, а капитал как фактор производства характеризовался убывающей отдачей от масштаба. Чтобы объяснить темпы экономического роста, исследователи стали использовать более широкую трактовку понятия «капитал», включая в него и человеческий капитал. Эта концепция была впервые предложена Фрэнком Найтом в 1944 году. На основании такой широкой трактовки капитала традиционно используемую в макроэкономических моделях функцию Кобба — Дугласа сменила производственная функция вида $Y=AK$, которая впервые была предложена в 1937 году Джоном фон Нейманом (на английский язык работа была переведена в 1945 году). Простейший вариант AK-модели (с экзогенной ставкой сбережения) был предложен Робертом Солоу в 1970 году, однако сам Солоу посчитал её неинтересной. Для объяснения нормы сбережений как следствия решений экономических агентов, как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, используется межвременная функция полезности из работы Фрэнка Рамсея 1928 года. После Роберта Солоу многие исследователи предлагали свои версии АК-модели, иногда под этим названием подразумеваются некоторые схожие модели (см. ниже), но в качестве модели, объединяющей человеческий и физический капитал в производственную функцию вида $Y=AK$, с помощью которой объясняются темпы экономического роста, в обзорных источниках используется модель, предложенная Серджио Ребело в работе «Анализ зависимости долгосрочной фискальной политики и темпов экономического роста», опубликованной в апреле 1990 года и изданной в июне 1991 года в журнале Journal of Political Economy.

Описание оригинальной модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Экономика функционирует в условиях совершенной конкуренции. Производится два разных типа продуктов: один используется, для потребления $C$, другой - для инвестиций $I$. Норма выбытия капитала $\delta$ задается экзогенно. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время $t$ изменяется непрерывно.

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: $S=I$.

Капитал $K$, трактуемый в модели как совокупность физического и человеческого капитала, распределяется между двумя секторами, производящими инвестиционные и потребительские товары:

$K_{Ct}+K_{It}=K_t$,

где $K_t$ — совокупный запас капитала в момент времени $t$, $K_{Ct}$ — капитал, используемый в производстве потребительских товаров в момент времени $t$, $K_{It}$ — капитал, используемый в производстве инвестиционных товаров в момент времени $t$.

Если обозначить долю капитала, задействованного в производстве потребительских товаров в момент времени $t$ как ${\varphi }_t$, $0<{\varphi }_t<1$, то $K_{Ct}={\varphi }_t{K}_t$ и $K_{It}=(1-{\varphi }_t)K_t$.

Производственная функция в секторе потребительских товаров описывается функцией Кобба — Дугласа:

$C_t=B{K}_{Ct}^{\alpha }{L}_t^{1-\alpha }$,

где $C_t=c_t{L}_t$ — совокупное потребление в момент времени $t$, $c_t$ — потребление отдельного индивида в момент времени $t$, $L_t$ — трудовые ресурсы в момент времени $t$, $B$ — технологический параметр, $B=const$.

Производственная функция в секторе инвестиционных товаров не включает в себя труд как фактор производства, зависит только от капитала и описывается функцией:

$I_t=A{K}_{It}$,

где $A$ — технологический параметр, $A=const$.

Население $L_t$, равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом $n$: $L_t=L_0{e}^{nt},n=const$.

Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает заработную плату (в единицах потребительского товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя $u(c_t)$ является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям $u^{\prime }(c)>0,u^{″}(c)<0$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): $\underset{c\to 0}{\lim }{u}^{\prime }(c)=+\mathrm{\infty };\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}^{\prime }(c)=0$, а также обладает постоянной эластичностью замещения $\frac{u^{″}(c)}{u^{\prime }(c)}c=-\theta$, и имеет вид:

$U(c)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{c^{1-\theta }-1}{1-\theta }{e}^{-(\rho -n)t}dt$,

где $\rho$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, $\rho >0,\rho =const$.

Доходы индивида состоят из заработной платы $w$ и поступлений от активов $r{a}_t$. Активы индивида $a_t$ могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка $r_t$ по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_t{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}(r(\nu )-n)d\nu }\ge 0$,

где $a_t=\frac{K_t}{L_t}=k_t$ — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида $a$ совпадает с запасом капитала на одного работающего.

Накопление капитала в момент времени $t$ равно разности произведенных инвестиционных товаров и выбытия капитала:

$\dot{K}=I_t-\delta K_t=A{K}_{It}-\delta K_t$,

где $\delta$ — норма выбытия капитала, $\dot{K}$ — производная капитала по времени.

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу труда $y=\frac{Y}{L}$, запас капитала на единицу труда $k=\frac{K}{L}$, потребление на единицу труда $c=\frac{C}{L}$, инвестиции на единицу труда $i=\frac{I}{L}$.

В интенсивной форме производственные функции имеют вид: $i_t=A{k}_t$ (сектор инвестиционных товаров) и $c_t=B{k}_t^{\alpha }$ (сектор потребительских товаров).

Задача фирмы

Задача фирм, работающие в двух секторах, состоит в максимизации прибыли (${\pi }_c$ и ${\pi }_i$ в потребительском и инвестиционном секторе соответственно):

${\pi }_i=p_{it}A{K}_{It}-(r_{it}+\delta p_{it})K_{It}\to \max$

${\pi }_c=p_{ct}B{K}_{Ct}^{\alpha }{L}_t^{1-\alpha }-r_{ct}{K}_{Ct}-w_t{L}_t\to \max$

В условиях совершенной конкуренции это означает, что предельная производительность капитала в производстве инвестиционных и потребительских товаров должна быть одинакова ($\frac{\partial I_t}{\partial K_I}=\frac{\partial C_t}{\partial K_C}$), при условии статичности цен:

$\frac{\partial I_t}{\partial K_I}=r_{it}+\delta p_{it}=p_{it}A$,

$\frac{\partial C_t}{\partial K_C}=r_{ct}=p_{ct}\alpha B{K}_{Ct}^{\alpha -1}{L}_t^{1-\alpha }=p_{ct}\alpha B({\varphi }_t{k}_t{)}^{\alpha -1}$,

где $p_{it}$ — цена инвестиционного товара в момент времени $t$, $p_{ct}$ — цена потребительского товара в момент времени $t$. Из условия, что $\frac{\partial I_t}{\partial K_I}=\frac{\partial C_t}{\partial K_C}$, следует:

$p_{it}A=p_{ct}\alpha B({\varphi }_t{k}_t{)}^{\alpha -1}$.

Задача потребителя

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). Население растет темпом $n$, поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшаются на $n{a}_t$. Таким образом, учитывая, что в этой версии модели $w_t=0$ производная активов по времени $\dot{a}$, выступающая в качестве бюджетного ограничения индивида, имеет вид:

$\dot{a}=r_{ct}{a}_t+w_t-c-n{a}_t$.

Как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, задача потребителя заключается в максимизации полезности $U$ при бюджетном ограничении и при ограничении на отсутствие схемы Понци. Поскольку бюджетное ограничение представлено как производная по времени, то задача потребителя представлена в виде задачи динамической оптимизации. Её решение можно найти путём построения функция Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина.

Нахождение максимума функции Гамильтона

Функция Гамильтона выглядит следующим образом:

$H=\frac{c^{1-\theta }-1}{1-\theta }{e}^{-(\rho -n)t}dt+{\lambda }_t(r_t{a}_t-c-n{a}_t)$

при условии:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_t{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}(r(\nu )-n)d\nu }\ge 0$.

Условие максимума первого порядка: $\frac{\partial H}{\partial c}=c^{-\theta }{e}^{-(\rho -n)t}-{\lambda }_t=0$.

Фазовая координата (сопряжённое уравнение): $\frac{\partial H}{\partial a}=(r_t-n){\lambda }_t=-\dot{\lambda }$, где $\dot{\lambda }$ — производная $\lambda$ по времени.

Условие трансверсальности (при невыполнении которого найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой): $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }_t{a}_t=0$, где ${\lambda }_t$ представляют собой теневые цены активов (теневые цены учитывают внешние эффекты в стоимости товаров, если фирмы и потребители принимают решения в соответствии со структурой цен, пропорциональной теневой, то в экономике достигается оптимальное по Парето состояние). В данном случае условие трансверсальности совпадает с ограничением на отсутствие схемы Понци.

Искомое решение имеет вид правила Кейнса — Рамсея:

$g_c=\frac{\dot{c}}{c}=\frac{1}{\theta }(r_{ct}-\rho )$,

где $\dot{c}$ — производная потребления на душу населения по времени, $g_c$ — темп роста потребления на единицу населения.

Общее равновесие в модели

С учетом изменения цен потребительского и инвестиционного товаров, в равновесном состоянии доходности на капитал в производстве инвестиционных ($r_{it}$) и потребительских ($r_{ct}$) товаров должны удовлетворять условию:

$\frac{r_{ct}}{p_{ct}}+\frac{\dot{p_{ct}}}{p_{ct}}=\frac{r_{it}}{p_{it}}+\frac{\dot{p_{it}}}{p_{it}}$,

где $\dot{p_{it}}$ — производная цены инвестиционного товара по времени, $\dot{p_{ct}}$ — производная цены потребительского товара по времени.

На траектории стабильного роста ${\varphi }_t=const={\varphi }^{*}$. Если выбрать потребительский товар в качестве меры стоимости, $p_{ct}=const=1$, то $\dot{p_{ct}}=0$. Динамика цены инвестиционного товара определяется из равенства доходностей на капитал в секторах потребительских и инвестиционных товаров:

$\frac{\dot{p_{it}}}{p_{it}}=(\alpha -1)\frac{\dot{k}}{k}$.

С учетом уравнения доходности капитала в производственном секторе, итоговое уравнение для $r_{ct}$ примет вид:

$r_{ct}=A-\delta -(1-\alpha )\frac{\dot{k}}{k}$.

Если подставить значение $r_{ct}$ в уравнение динамики потребления, то оно примет вид:

$g_c=\frac{1}{\theta }(A-\delta -(1-\alpha )\frac{\dot{k}}{k}-\rho )$.

Производная производственной функции в секторе потребительских товаров по времени выглядит следующим образом:

$\frac{\dot{c}}{c}=g_c=\alpha \frac{\dot{k}}{k}$.

Решением системы из этих двух уравнений и будут равновесные темпы роста капиталовооружённости $k$ ($g_k^{*}$), выпуска на единицу труда $y$ ($g_y^{*}$), заработной платы $w$ ($g_w^{*}$) и потребления на единицу труда $c$ ($g_c^{*}$):

$g_k^{*}=\frac{\dot{k}}{k}=\frac{A-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}$,

$g_c^{*}=g_y^{*}=\alpha \frac{A-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}$,

$g_w^{*}=\frac{\dot{w}}{w}=\frac{\dot{p_{ct}}}{p_{ct}}+\alpha \frac{\dot{k}}{k}=g_c^{*}=\alpha \frac{A-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}$

Таким образом, в модели темпы роста выпуска и потребления являются постоянными, и не падают с ростом запаса капитала. Поскольку в модели отсутствуют внешние эффекты, найденное конкурентное равновесие является оптимальным по Парето, и не существует централизованного равновесия с более высокими темпами роста, в отличие от моделей обучения в процессе деятельности и Удзавы — Лукаса.

Фискальная политика в модели

Совокупные налоговые поступления можно записать следующим образом:

$T_t={\tau }_c{C}_t+{\tau }_i{p}_{it}{I}_t$,

где $T_t$ — совокупные налоговые поступления в момент времени $t$, ${\tau }_c$ — суммарная ставка налогов на потребление (например, НДФЛ, НДС), ${\tau }_i$ — суммарная ставка налогов на инвестиции (например, налог на прибыль).

Налоги на потребление не влияют на темпы роста капиталовооружённости $k$ и выпуска $y$, они лишь приводят к уменьшению текущего уровня потребления. Но налоги на инвестиции оказывают влияние на темпы роста В этом случае оптимальные темпы роста капиталовооружённости $g_k^{*}$ и выпуска $g_y^{*}$ изменится следующим образом:

$g_k^{*}({\tau }_i)=\frac{\frac{A}{1+{\tau }_i}-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}$,

$g_c^{*}({\tau }_i)=g_y^{*}({\tau }_i)=\alpha \frac{\frac{A}{1+{\tau }_i}-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}$.

Таким образом, в отличие от модели Рамсея — Касса — Купманса, в которой рост налогов вызывал только снижение текущего потребления, но не влиял на темпы экономического роста, в рассматриваемой модели даже небольшие изменения в налоговой политике могут привести к снижению не только текущего уровня потребления, но и темпов экономического роста (при определенных значениях параметров, они даже могут стать отрицательными).

Упрощенная версия модели

Отличия от оригинальной модели

Во многих работах встречается упрощенная версия модели, в которой рассматривается односекторная экономика вместо двухсекторной в оригинальной модели: производится только один товар $Y$, используемый как для потребления, так и для инвестиций. В этом случае в качестве совокупной производственной функции выступает производственная функция сектора инвестиционных товаров из оригинальной модели:

$Y_t=A{K}_t$

Поскольку производится только один товар, то больше нет необходимости в разных ценах $p_{it}$ и $p_{ct}$, и в этой версии, как и в модели модели Рамсея — Касса — Купманса, работники снова получают заработную плату в натуральной величине.

Задача фирмы

Задача фирмы состоит в максимизации прибыли $\pi$:

$\pi =A{K}_t-(r+\delta )K_t-w_t{L}_t\to \max$

Поскольку фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции, то предельные производительности факторов производства равны их ценам:

$\frac{\partial Y_t}{\partial K}=r_t=A-\delta$,

$\frac{\partial Y_t}{\partial L}=w_t=0$.

Задача потребителя

Задача потребителя полностью аналогична задаче в оригинальной модели. Её решение имеет также вид правила Кейнса — Рамсея:

$g_c=\frac{\dot{c}}{c}=\frac{1}{\theta }(r_t-\rho )$,

Общее экономическое равновесие

В равновесном состоянии темпы роста потребления $g_c^{*}$, капитала $g_k^{*}$ и выпуска $g_y^{*}$ равны:

$g_c^{*}=g_k^{*}=g_y^{*}=\frac{1}{\theta }(A-\delta -\rho )$.

Учитывая, что $a=k$, после решения задач фирмы и потребителя, можно записать следующую систему дифференциальных уравнений:

$\{\begin{array}{l}\dot{k}=(A-\delta -n)k_t-c_t,\\ \frac{\dot{c}}{c}=\frac{1}{\theta }(A-\delta -\rho ).\end{array}$

при условии:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{k}_t{e}^{-(A-\delta -n)t}=0$.

Из решения этой системы уравнений находится равновесная норма сбережения $s^{*}$:

$s^{*}=\frac{\frac{\dot{k}}{k}+n+\delta }{A}=\frac{\delta +n}{A}+\frac{1}{\theta }(1-\frac{\delta +\rho }{A})$.

В итоге, и в упрощенной модели темпы роста выпуска и потребления также являются постоянными, и не падают с ростом запаса капитала. Поскольку в модели отсутствуют внешние эффекты, найденное конкурентное равновесие также является оптимальным по Парето, и не существует централизованного равновесия с более высокими темпами роста.

Фискальная политика в модели

Поскольку в упрощенной версии модели индивиды получают доход только от владения капиталом ($w_t=0$), то и налоги могут быть в ней введены только на этот источник дохода. С учетом налогов, динамика активов потребителя примет вид:

$\dot{a}=(1-\tau )r_t{a}_t-c-n{a}_t$,

где $\tau$ — ставка налога.

В этом случае равновесные темпы роста потребления $g_c^{*}$, капитала $g_k^{*}$ и выпуска $g_y^{*}$ в зависимости от ставки налога $\tau$ будут равны:

$g_c^{*}(\tau )=g_k^{*}(\tau )=g_y^{*}(\tau )=\frac{1}{\theta }((1-\tau )(A-\delta )-\rho )$.

Норма сбережений $s^{*}$ также меняется в зависимости от$\tau$:

$s^{*}(\tau )=\frac{\delta +n}{A}+\frac{1}{\theta }\left(\frac{(1-\tau )(A-\delta )-\rho }{A}\right)$.

Как и в оригинальной модели, в упрощенной версии небольшие изменения в налоговой политике тоже могут привести к снижению не только текущего уровня потребления, но и темпов экономического роста (при определенных значениях параметров, они даже могут стать отрицательными). В целом, при более простых вычисления, упрощенная версия модели приходит к тем же общим выводам, что и оригинальная модель, за исключением вывода относительно уровня заработной платы $w_t$ и темпов его роста $g_w^{*}$. Но это важное различие, оно предполагает, что доля капитала в национальном доходе должна асимптотически стремиться к 100%.

Другие модели с расширенной трактовкой капитала

В модели Серджио Ребело человеческий и физический капитал объединены в одну переменную. Существуют также ряд других моделей, которые приходят к аналогичным выводам, но исходя из иных предпосылок. Вместе с рассматриваемой моделью из называют моделями экономического роста с расширенной трактовкой капитала или моделями эндогенного роста первого поколения.

Модель обучения в процессе деятельности

Основная статья: Модель обучения в процессе деятельности

В модели обучения в процессе деятельности производственная функция каждой отдельной фирмы удовлетворяет неоклассическим предпосылкам, однако общий запас капитала посредством эффекта перелива знаний повышает производительность труда в экономике. Модель также демонстрирует возможность устойчивого экономического роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса, но, поскольку устойчивый экономический рост в модели достигается за счет внешних эффектов от совокупного запаса капитала, который каждая отдельная фирма считает постоянной величиной, то достигаемое равновесие не является оптимальным по Парето. Потому в централизованном равновесии в модели темпы роста выпуска и потребления оказываются выше, чем в децентрализованном. Разработана Полом Ромером в 1986 году.

Модель Удзавы — Лукаса

Основная статья: Модель Удзавы — Лукаса

В модели Удзавы — Лукаса производственная функция каждой отдельной фирмы также удовлетворяет неоклассическим предпосылкам, однако общий запас человеческого капитала (в форме среднего уровня образования) повышает производительность труда в экономике. Модель демонстрирует возможность устойчивого экономического роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса, но, поскольку устойчивый экономический рост в модели достигается за счет внешних эффектов от среднего уровня образования, который каждая отдельная фирма считает постоянной величиной, то достигаемое равновесие не является оптимальным по Парето. Потому в централизованном равновесии в модели темпы роста выпуска и потребления оказываются выше, чем в децентрализованном. Разработана Робертом Лукасом на основе идей Хирофуми Удзавы в 1988 году.

Модель Мэнкью — Ромера — Вейла

Основная статья: Модель Мэнкью — Ромера — Вейла

Модель Мэнкью — Ромера — Вейла является расширенной за счёт включения человеческого капитала версией модели Солоу, она разработана Грегори Мэнкью, Дэвидом Ромером и Дэвидом Вейлом в 1990 году. В том случае, если в модели Мэнкью — Ромера — Вейла вместо экзогенной ставки сбережений вводится функция полезности потребителя, и если выполняется условие $\alpha +\beta =1$, то она превращается в полный аналог упрощенный версии AK-модели.

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

AK-модель преодолевает недостаток экзогенности темпов научно-технического прогресса, присущий неоклассическим моделям (модель Рамсея — Касса — Купманса, модель пересекающихся поколений) благодаря тому, что понятие «капитал» в модели трактуется как совокупность физического и человеческого капитала, что позволяет обосновать неубывающую предельную производительность капитала в секторе инвестиционных товаров, обеспечивающую постоянные темпы экономического роста.

Темпы экономического роста в модели зависят от поведения потребителей, которые выбирают субъективную ставку дисконтирования и институциональных параметров, определяющих налоговую нагрузку. В модели показано негативное влияние повышения налогов на темпы экономического роста. Даже небольшие изменения в фискальной политике могут привести к снижению не только текущего уровня потребления, но и темпов экономического роста, которые при определенных значениях параметров даже могут стать отрицательными. Однако столь сильная чувствительность к изменениям налоговой ставки рядом экономистов считается недостатком модели: в развитых странах существенно различается налоговая нагрузка, но это не приводит к сопоставимым различиям в темпах роста ВВП.

AK-модели также иногда приписывается вывод о том, что доля капитала в национальном доходе должна асимптотически стремиться к 100%. Но это верно только для упрощённой версии модели, в оригинальной версии этот недостаток преодолевается.

Модель не предполагает ни абсолютной, ни условной конвергенции, так как темпы роста не падают с ростом объёма выпуска, а значит, в рамках её предпосылок бедные страны не могут догнать богатые. Это более реалистичный вывод, чем у моделей Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, предполагавших, что при одинаковых структурных параметрах бедные страны должны догонять богатые. В большинстве случаев бедные страны действительно не могут догнать богатые, хотя единичные примеры таких стран известны (японское экономическое чудо, корейское экономическое чудо). Более того, в AK-модели существующие между странами разрывы со временем только нарастают, а значит, бедные страны не только не могут догнать богатые, но и все больше отстают от них. Такой вывод представляется чрезмерно пессимистичным по отношению к развивающимся странам и эмпирически не подтверждается.

Некоторые исследователи в качестве достоинства модели также отмечают её простоту и отсутствие переходной динамики. Но следствием её простоты является то, что в понятие «капитал» включается много различных типов деятельности: физический капитал, человеческий капитал, обучение, создание новых продуктов. Из-за того, что столь различные понятия объединены в одну переменную $K$, модель носит достаточно ограниченный характер.

Вместе с тем, отмечается, что в модели отсутствует технологический прогресс в явном виде и не раскрывается целенаправленная деятельность экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли. Альтернативный путь развития — импорт и внедрение новых технологий из более развитых стран — также не отражён в модели.

Литература

• Акаев А. А. Модели инновационного экономического роста AN-типа // МИР (Модернизация, Инновация, Развитие). — 2015. — Т. 6, № 2. — С. 70—79. — doi:10.18184/2079-4665.2015.6.2.70.79.
• Асемоглу Д. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9.
• Барро Р. Д., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост / Пер. с англ.. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Джонс Ч. И., Воллрат Д. Введение в теорию экономического роста = Introduction to Economic Growth. — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 296 с. — ISBN 978-5-7749-1299-5.
• Пономарёва Е.А., Божечкова А.В., Кнобель А.Ю. Факторы экономического роста. — М.:Издательский дом Дело. — 2012. — С. 20—21. — ISBN 978-5-7749-0738-0.
• Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6.
• Шараев Ю. В. Теория экономического роста. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2006. — 254 с. — ISBN 5-7598-0323-9.
• Howitt P. W. Endogenous Growth Theory // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — L.: Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 3632—3636. — ISBN 978-1-349-95188-8.
• Kamihigashi T. Transversality Conditions and Dinamic Economic Behaviour // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — L.: Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 13858—13862. — ISBN 978-1-349-95188-8.
• Knight F. H. Diminishing Returns Under Investment // Journal of Political Economy. — 1944. — № 1. — P. 26—41.
• Lucas R. E. Оn the mechanics of economic development // Journal of Monetary Economics. — 1988. — Vol. 22, № 1. — P. 3—42.
• Mankiw G., Romer D. , Weil D.. Contribution to the Empirics of Economic Growth // NBER Working paper. — 1990. — № 3541. — doi:10.3386/w3541.
• Neumann J. V. A mathematical theory of saving // The Review of Economic Studies. — 1945. — № 1. — P. 1—9.
• Ramsey F. P. A mathematical theory of saving // The Economic Journal. — 1928. — Vol. 38, № 152. — P. 543—559.
• Rebelo S.. Long-Run Policy Analysis and Long-Run Growth // NBER Working Paper. — 1990. — № 3325. — doi:10.3386/w3325.
• Rebelo S.. Long-Run Policy Analysis and Long-Run Growth // Journal of Political Economy. — 1991. — № 3. — P. 500—521. — doi:10.1086/261764.
• Romer P. M. Increasing Retunns and Long-Time Growth // Journal of Political Economy. — 1986. — Vol. 94, № 5. — P. 1002—1037.
• Solow R. M. Growth Theory: An Exposition. — Oxford: Oxford University Press, 1970. — 220 с. — ISBN 978-0195109030.