Условия Инады

Условиями Инады (англ. Inada conditions) в макроэкономике называют допущения о характере производственной функции, гарантирующие стабильность экономического роста в неоклассической модели (англ. balanced growth path, BGP). В нынешнем виде введены Хирофуми Удзавой, названы в честь другого японского экономиста, Кенити Инады.

Условия

Предполагается, что задана непрерывно дифференцируемая производственная функция $F:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$, где $n$ —  количество факторов производства. Например. для функции Кобба-Дугласа их традиционно два: капитал $K$ и труд $L$. Тогда к производственной функции можно предъявить следующие требования.

1. Значение функции в нуле равно нулю $F(\mathbf{𝟎})=0$. При этом требуют, чтобы функция была равна нулю даже если только один из факторов отсутствует.
2. Функция является монотонно возрастающей по каждому из факторов: $F{\text{'}}_{X_i}(\mathbf{𝐗})>0,\mathrm{\forall }i$.
3. Функция является строго вогнутой, то есть вторая производная функции отрицательна: ${\partial }^{2}f(\mathbf{𝐗})/\partial X_i^2<0,\mathrm{\forall }{x}_i$.
4. Предел первой производной $F(\mathbf{𝐗})$ равен бесконечности при $X_i$, стремящемся к 0: $\underset{X_i\to 0}{\lim }\partial F(\mathbf{𝐗})/\partial X_i=+\mathrm{\infty }$;
5. Предел первой производной $F(\mathbf{𝐗})$ равен 0 при $X_i$, стремящемся к бесконечности: $\underset{X_i\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\partial F(\mathbf{𝐗})/\partial X_i=0$.

Условиями Инады называют как все сформулированные выше требования, так и последнюю группу требований, накладывающих ограничения на поведение производной.

Условия Инады обладают следующим смыслом. Равенство функции нулю означает, что для производства требуются ресурсы и все факторы производства обязательно должны присутствовать. Возрастание означает, что большее количество факторов производства приносит больший выпуск. Вогнутость является следствием убывающего предельного продукта. Требования к поведению производной означают, что в начальный момент каждая дополнительная единица ресурсов дает экономике очень много выпуска, но со временем из-за убывающей отдачи расти становится все сложнее. Каждая дополнительная единица приносит все меньше.

С математической точки зрения, условия Инады гарантируют существование сбалансированной траектории роста экономики в модели (англ. balanced growth path, BGP).

Функция Кобба — Дугласа

Из класса функций CES всем перечисленным условиям удовлетворяет только функция Кобба — Дугласа. Не трудно проверить выполнение этих условий для функции $Y=F(K,L)=K^{\alpha }{L}^{1-\alpha }$ ($\alpha \in (0,1)$).

В производстве отсутствует капитал или труд, тогда:

$F(0,L)=0$, $F(K,0)=0$.

Функция является монотонной по обоим факторам производства:

$F{\text{'}}_K=\alpha K^{\alpha -1}{L}^{1-\alpha }>0$

$F{\text{'}}_L=(1-\alpha )K^{\alpha }{L}^{-\alpha }$.

Убывающая предельная отдача капитала и труда:

$F^{\prime }{\text{'}}_K=\alpha (\alpha -1)K^{\alpha -2}{L}^{1-\alpha }<0$

$F^{\prime }{\text{'}}_L=-\alpha (1-\alpha )K^{\alpha }{L}^{-\alpha -1}<0$.

Поведение первой производной в нуле:

$\underset{K\to 0}{\lim }F{\text{'}}_K=\alpha K^{\alpha -1}{L}^{1-\alpha }=\mathrm{\infty }$

$\underset{L\to 0}{\lim }F{\text{'}}_L=(1-\alpha )K^{\alpha }{L}^{-\alpha }=\mathrm{\infty }$.

Поведение первой производной и на бесконечности:

$\underset{K\to \mathrm{\infty }}{\lim }F{\text{'}}_K=\alpha K^{\alpha -1}{L}^{1-\alpha }=0$

$\underset{L\to \mathrm{\infty }}{\lim }F{\text{'}}_L=(1-\alpha )K^{\alpha }{L}^{-\alpha }=0$.

Литература

• Барро Р.Дж., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост (рус.). — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. — С. 41. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Ромер Д. Высшая макроэкономика (рус.). — М.: Изд. дом ВШЭ, 2014. — С. 28-29. — 855 с. — ISBN 978-5-7568-0406-2.
• Gandolfo, Giancarlo. [[1] в «Книгах Google» Economic Dynamics] (неопр.). — Third. — Berlin: Springer, 1996. — С. 176—178. — ISBN 3-540-60988-1.
• Uzawa, H. On a Two-Sector Model of Economic Growth II (англ.) // The Review of Economic Studies : journal. — 1963. — Vol. 30, no. 2. — P. 105—118. — .
• Ken-Ichi Inada. On a Two-Sector Model of Economic Growth: Comments and a Generalization (англ.) // The Review of Economic Studies : journal. — 1963. — Vol. 30, no. 2. — P. 119—127. — .
• de la Fonteijne M. R. Do Inada Conditions imply Cobb-Douglas Asymptotic Behavior or only a Elasticity of Substitution equal to one (англ.). — 2015.