Тетрация

Тетра́ция (гиперопера́тор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году.

Определения

Тетрация как степенная башня

Для любого положительного вещественного числа $a>0$ и неотрицательного целого числа $n⩾0$, тетрацию ${}^{n}a$ можно определить рекуррентно:

• ${}^{0}a=1,$
• ${}^{n}a=a^{({}^{n-1}a)},n>0.$

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

${}^{4}2=2^{2^{2^2}}=2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)}=2^{(2^4)}=2^{16}=65536.$

Или:

${}^{5}2=2^{2^{2^{2^2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)}\right)}=2^{(2^{16})}=2^{65536}.$

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

$2^{2^{2^2}}\ne {((2^2{)}^2)}^2=2^{2\cdot 2\cdot 2}=2^8=256.$

Или:

$2^{2^{2^{2^2}}}\ne {(((2^2{)}^2{)}^2)}^2=2^{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=2^{16}=65536.$

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху вниз (или справа налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператор

Основная статья: Гипероператор

$\lim {}_{n\to \mathrm{\infty }}{}^{n}x$. Бесконечное возведение в степень для основания $(1/e{)}^e⩽x⩽e^{1/e}$.

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

1. сложение:

   $a+b=a+\underset{b}{\underbrace{1+1+\dots +1}};$

2. умножение:

   $a\times b=\underset{b}{\underbrace{a+a+\dots +a}};$

3. возведение в степень:

   $a^b=\underset{b}{\underbrace{a\times a\times \dots \times a}};$

4. тетрация:

   ${}^{b}a=\underset{b}{\underbrace{a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^a}}}}}}.$

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

Свойства

• Тетрация не считается элементарной функцией (за исключением случаев с постоянным натуральным показателем, когда тетрация выражается в виде степенной башни постоянной высоты).
• В силу некоммутативности тетрация имеет две обратных операции — суперлогарифм и суперкорень (аналогично тому, как возведение в степень имеет две обратные функции: арифметический корень и логарифм).

Для тетрации в общем случае неверны следующие характерные для предыдущих операторов свойства:

• ${}^b({}^{c}a)\ne {}^c({}^{b}a)$, например: ${}^3({}^{2}2)=({}^{2}2{)}^{({}^{2}2{)}^{({}^{2}2)}}=4^{4^4}=4^{256}$, но ${}^2({}^{3}2)=({}^{3}2{)}^{({}^{3}2)}=16^{16}=4^{32}$.
• ${}^{b+c}a$ не равно ни ${}^{b}a+{}^{c}a$, ни ${}^{b}a\times {}^{c}a$, например: ${}^{1+2}3={}^{3}3=3^{27}\ne {}^{1}3+{}^{2}3\ne {}^{1}3\times {}^{2}3$, так как ${}^{1}3+{}^{2}3=30;{}^{1}3\times {}^{2}3=81$.

Примечание: однако, верно $\underset{b}{\underbrace{{\log }_a{\log }_a...{\log }_a}}({}^{b+c}a)={}^{c}a$ или $\underset{c}{\underbrace{{\log }_a{\log }_a...{\log }_a}}({}^{b+c}a)={}^{b}a$.

• Тетрация минус единицы равна минус единице:

${}^n(-1)=\underset{n}{\underbrace{(-1{)}^{(-1{)}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{(-1)}}}}}}}=-1,n>0$

Терминология

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

• Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (англ. Rudy Rucker) «Infinity and the Mind».
• Термин «супервозведение в степень» (англ. superexponentiation) был опубликован Бромером (англ. Bromer) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году. Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (англ. Ed Nelson) в его книге «Предикативная Арифметика» (англ. «Predicative Arithmetic»).
• Термин «гиперстепень» (англ. hyperpower) есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
• Термин «степенная башня» (англ. power tower) иногда используется, в форме «степенная башня порядка $n$» для $\underset{n}{\underbrace{a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^a}}}}}}$.

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма	Терминология
$a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^a}}}}$	Тетрация
$a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{a^x}}}}}$	Итерационные экспоненты
$a_1^{a_2^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{a_n}}}}}$	Вложенные экспоненты (также башни)
$a_1^{a_2^{a_3^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$	Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях $a$ есть основание, и количество появляющихся $a$ есть высота. В третьем выражении, $n$ есть высота, но все основания разные.

Обозначения

Системы записи, в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций), включают в себя:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	${}^{n}a$	Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind».
Стрелочная нотация Кнута	$a\uparrow \uparrow n$	Позволяет удлинение путём добавления добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея	$a\to n\to 2$	Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку.
Функция Аккермана	${}^{n}2=\mathrm{A}(4,n-3)+3$	Допускает особый случай $a=2$ в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи	${}^{n}a={\exp }_a^n(1)$	Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand)	${\mathrm{u}\mathrm{x}\mathrm{p}}_{a}n,a^{\frac{n}{}}$
Система записи гипероператорами	$a^{(4)}n,{\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}}_4(a,n)$	Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров.
Система записи ASCII	a^^n	Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^), оператор тетрация может быть записан в виде (^^).
Нотация массивов Бауэрса/Бёрда	{a, b,2}	{a, b, c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

${\exp }_a^n(x)=\underset{n}{\underbrace{a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{a^x}}}}}}}.$

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	${\exp }_a^n(x)$	Система записи ${\exp }_a(x)=a^x$ и итерационная система записи $f^n(x)$ была введена Эйлером.
Стрелочная нотация Кнута	$(a\uparrow {)}^n(x)$	Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Гипер-Е нотация	E(a)x#n
Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis)	${}^n(a,x)$	Допускает использование больших выражений в основании.
ASCII (добавочный)	a^^n@x	Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация.
ASCII (стандартный)	exp_a^n(x)	Основана на стандартной форме записи.

Примеры

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными. Например, четвёртая тетрация от 3 (то есть $3^{3^{3^3}}$) начинается цифрами 1258, заканчивается цифрами 39387 и имеет 3638334640025 цифр, последовательность A241292 в OEIS.

$x$	${}^{2}x$	${}^{3}x$	${}^{4}x$
1	1	1	1
2	4	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987	${\exp }_{10}^3(1,09902)$
4	256	${\exp }_{10}^2(2,18788)$	${\exp }_{10}^3(2,18726)$
5	3 125	${\exp }_{10}^2(3,33931)$	${\exp }_{10}^3(3,33928)$
6	46 656	${\exp }_{10}^2(4,55997)$	${\exp }_{10}^3(4,55997)$
7	823 543	${\exp }_{10}^2(5,84259)$	${\exp }_{10}^3(5,84259)$
8	16 777 216	${\exp }_{10}^2(7,18045)$	${\exp }_{10}^3(7,18045)$
9	387 420 489	${\exp }_{10}^2(8,56784)$	${\exp }_{10}^3(8,56784)$
10	10 000 000 000	${\exp }_{10}^3(1)$	${\exp }_{10}^4(1)$

Открытые проблемы

• Неизвестно, являются ли ⁿπ или ⁿe целыми числами при каком-либо натуральном n > 4. Неизвестно даже, является ли ${}^4\pi ={\pi }^{{\pi }^{{\pi }^{\pi }}}$ целым.
• Неизвестно, может ли ${}^{n}q$ быть рациональным числом, если $n$ — целое число, большее 3, а $q$ — рациональное, но не целое число (для $n=2,3$ ответ отрицателен).
• Ни для какого целого $n>3$ неизвестно, является ли положительный корень уравнения ${}^{n}x=2$ рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

Ссылки

• Сайт про тетрацию Эндрю Робинса.
• Сайт про тетрацию Даниэля Гэйслера.
• Форум по обсуждению тетрации.
• Кузнецов Д. Тетрация как специальная функция // Владикавказский математический журнал. — 2010.