Гипероператор

Гиперопера́тор — обобщение традиционных арифметических операций — сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, — на высшие порядки (тетрация, пентация и так далее).

В силу некоммутативности (в общем случае) гипероператор имеет две обратные функции — гиперкорень и гиперлогарифм. Гиперкорень и гиперлогарифм сложения и умножения совпадают, образуя вычитание и деление соответственно, но уже для возведения в степень обратные функции становятся различными (корень и логарифм). Обратные операции обобщаются для гипероператора любого порядка.

История

Исторически первым гипероператором является функция Аккермана (1928), сконструированная как пример всюду определённой не являющейся примитивно рекурсивной вычислимой функции от трёх аргументов $\phi (a,b,n)$ такой, что для $n=0,1,2$ она определяла операции сложения, умножения и возведения в степень соответственно:

$\phi (a,b,0)=a+b$,

$\phi (a,b,1)=a\cdot b$,

$\phi (a,b,2)=a^b$;

в стрелочной нотации Кнута:

$\phi (a,b,n)=a{\uparrow }^{n-1}(b+1)$.

Впоследствии Гудстейном были разработаны последовательности функций, более аккуратно реализующие концепцию гипероператоров.

Определение

Гипероператор порядка $n$ с аргументами $a$ и $b$ (далее обозначаемый как $a^{(n)}b$) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка $n-1$ к последовательности из $b$ одинаковых аргументов, (начиная с умножения, каждый из которых равен $a$):

• сложение $a$ и $b$ — увеличение числа $a$ на количество единиц, равное $b$: $a{}^{(1)}b=a+\underset{b}{\underbrace{1+1+\dots +1}}=a+b$
• умножение $a$ на $b$ — сложение числа $a$ с самим собой $b$ раз: $a{}^{(2)}b=\underset{b}{\underbrace{a+a+\dots +a}}=a\times b$
• возведение a в степень b — умножение числа $a$ на само себя $b$ раз: $a{}^{(3)}b=\underset{b}{\underbrace{a\times a\times \dots \times a}}=a^b$
• $...$
• $a{}^{(n)}b=\underset{b}{\underbrace{a^{(n-1)}{a}^{(n-1)}\dots a^{(n-1)}a}}$

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка $n>2$ не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно.

В простейшем случае значения переменных $a$, $b$ и $n$ ограничиваются натуральными числами. Возможные обобщения гипероператоров $n⩾4$ на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.

Разные математики обозначают гипероператоры по-разному; Кнут использует стрелки $\uparrow$, Конвей использует стрелки $\to$:

$a{}^{(n)}b=\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">hyper</mrow>}(a,n,b)=a{\uparrow }^{n-2}b=a\to b\to (n-2)$.

Альтернативные операции

Альтернативная операция может быть получена путём вычисления слева направо и в силу коммутативности и ассоциативности операций сложения и умножения эта операция совпадает с гипероператором при $n<4$:

• $a+b=(a+(b-1))+1$,
• $a\times b=(a\times (b-1))+a$,
• $a^b=(a^{(b-1)})\times a$.

Для гипероператора $n⩾4$ вычисление слева направо (то есть альтернативная операция) отличается от гипероператора и проводит к другому результату, например, для $n=4,a=3,b=3$ получим гипероператор тетрацию: $3{\uparrow }^{2}3={}^{3}3=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987$.

Но вычисление степенной башни слева направо приведёт к неверному итогу: $3^{3^3}\ne {\left(3^3\right)}^3=3^{3^2}=3^9=19683$.

Литература

• Эвнин А. Ю. Сверхстепени и их разности // Математическое образование. — 2001. — № 1(16). — С. 68—73.
• Шустов В. В. Общее числовое действие и некоторые его свойства. — 2008. — 64 с. — ISBN 978-5-382-00546-1.