Число Скьюза

Число Скьюза (англ. Skewes number) — наименьшее натуральное число $n$, такое, что, начиная с него, неравенство $\pi (n)<\mathrm{Li}(n)$ перестает выполняться,
где $\pi (n)$ — функция распределения простых чисел, а $\mathrm{Li}(n)=\underset{2}{\overset{n}{\int }}\frac{dt}{\ln (t)}$ — сдвинутый интегральный логарифм.

История

В 1914 году Джон Литтлвуд дал неконструктивное доказательство того, что такое число существует.

В 1933 году Стэнли Скьюз оценил это число, исходя из гипотезы Римана, как ${\exp }^3(79)=e^{e^{e^{79}}}\approx 10^{10^{10^{34}}}$ — первое число Скьюза, обозначающееся ${\mathrm{S}\mathrm{k}}_1$.

В 1955 году Стэнли Скьюз дал оценку числа без предположения о верности гипотезы Римана: ${\exp }^4(7,705)=e^{e^{e^{e^{7,705}}}}\approx 10^{10^{10^{963}}}$ — второе число Скьюза, обозначающееся ${\mathrm{S}\mathrm{k}}_2$. Это одно из самых больших чисел, когда-либо применявшихся в математических доказательствах, хотя и намного меньше, чем число Грэма.

В 1987 году Герман Риел без предположения гипотезы Римана ограничил число Скьюза величиной $e^{e^{27/4}}$, что приблизительно равно 8,185·10³⁷⁰.

По состоянию на 2022 году известно, что число Скьюза заключено между 10¹⁹ и 1,3971672·10³¹⁶ ≈ e^{727,951336108}.