Тета-функция

Оригинальная тета-функция Якоби ${\theta }_1$ с $u=i\pi z$ и номом $q=e^{i\pi \tau }=0,1e^{0,1i\pi }$}}. Соглашения:
$\begin{array}{rl}{\theta }_1(u;q)& =2q^{\frac{1}{4}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n(n+1)}\sin (2n+1)u\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{n=\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-\frac{1}{2}}{q}^{{(n+\frac{1}{2})}^2}{e}^{(2n+1)iu}\end{array}$

Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных. Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий, пространства модулей и квадратичных форм. Они применяются также в теории солитонов. После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поля.

Наиболее распространённый вид тета-функций — это функции, встречающиеся в теории эллиптических функций. По отношению к одной из комплексных переменных (обычно обозначаемой z) тета-функция имеет свойство, выражающееся в сложении периодов ассоциированных эллиптических функций, что делает их квазипериодическими. В абстрактной теории это получается из условия линейного расслоения понижения.

Тета-функция Якоби

Тета-функция 1 Якоби

Тета-функция 2 Якоби

Тета-функция 3 Якоби

Тета-функция 4 Якоби

Имеется несколько связанных функций, которые называются тета-функциями Якоби, и много различных и несовместимых систем их обозначения. Одна тета-функция Якоби (названа именем Карла Густава Якоби), это функция, определённая от двух комплексных переменных z и $\tau$, где z может быть любым комплексным числом, а $\tau$ ограничена верхней половиной плоскости, что означает, что число имеет положительную мнимую часть. Функция задаётся формулой

$\begin{array}{rl}\vartheta (z;\tau )& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (\pi i{n}^2\tau +2\pi inz)=\\ & =1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(e^{\pi i\tau }\right)}^{n^2}\cos (2\pi nz)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}{\eta }^n,\end{array}$

где $q=\exp (\pi i\tau )$ и $\eta =\exp (2\pi iz)$. Функция является формой Якоби. Если фиксировать $\tau$, функция становится рядом Фурье для периодической целой функции от z с периодом 1. В этом случае тета-функция удовлетворяет тождеству

$\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).$

Функция ведёт себя очень регулярно с учётом квазипериода $\tau$ и удовлетворяет функциональному уравнению

$\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp (-\pi i{b}^2\tau -2\pi ibz)\vartheta (z;\tau ),$

где a и b — целые числа.

Тета-функция ${\theta }_1$ с различными номами $q=e^{i\pi \tau }$. Чёрная точка на правом рисунке показывает, как меняется q при изменении $\tau$

Тета-функция ${\theta }_1$ с различными номами $q=e^{i\pi \tau }$. Чёрная точка на правом рисунке показывает, как меняется q при изменении $\tau$

Вспомогательные функции

Тета-функция Якоби, определённая выше, иногда рассматривается вместе с тремя дополнительными тета-функциями и в этом случае записывается с дополнительным индексом 0:

${\vartheta }_{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )$

Дополнительные (полупериодичные) функции определяются формулами

$\begin{array}{rl}{\vartheta }_{01}(z;\tau )& =\vartheta (z+\frac{1}{2};\tau )\\ {\vartheta }_{10}(z;\tau )& =\exp (\frac{1}{4}\pi i\tau +\pi iz)\vartheta (z+\frac{1}{2}\tau ;\tau )\\ {\vartheta }_{11}(z;\tau )& =\exp (\frac{1}{4}\pi i\tau +\pi i(z+\frac{1}{2}))\vartheta (z+\frac{1}{2}\tau +\frac{1}{2};\tau ).\end{array}$

Этим обозначениям следовали Риман и Мамфорд. Первоначальная формулировка Якоби была в терминах нома $q=e^{i\pi \tau }$, а не $\tau$. В обозначениях Якоби θ-функции записываются в виде:

$\begin{array}{rl}{\theta }_1(z;q)& =-{\vartheta }_{11}(z;\tau )\\ {\theta }_2(z;q)& ={\vartheta }_{10}(z;\tau )\\ {\theta }_3(z;q)& ={\vartheta }_{00}(z;\tau )\\ {\theta }_4(z;q)& ={\vartheta }_{01}(z;\tau )\end{array}$

Приведённые выше определения тета-функции Якоби далеко не единственные. См. статью Тета-функции Якоби (вариации обозначений) с дальнейшим обсуждением.

Если мы положим $z=0$ в тета-функциях выше, мы получим четыре функции, зависящие только от $\tau$ и определённые на верхней полуплоскости (которые иногда называются тета-константами.) Они могут быть использованы для определения различных модулярных форм и для параметризации некоторых кривых. В частности, тождество Якоби

${\vartheta }_{00}(0;\tau {)}^4={\vartheta }_{01}(0;\tau {)}^4+{\vartheta }_{10}(0;\tau {)}^4$

является кривой Ферма четвёртой степени.

Тождества Якоби

Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются модулярной группой, которая порождается отображениями $\tau \mapsto \tau +1$ и $\tau \mapsto -\frac{1}{\tau }$. Тождества для первого преобразования найти легко, поскольку добавление единицы в показателе к $\tau$ имеет тот же эффект, что и добавление $\frac{1}{2}$ к z ($n\equiv n^2$ mod 2). Во втором случае положим

$\alpha =(-i\tau {)}^{\frac{1}{2}}\exp \left(\frac{\pi }{\tau }i{z}^2\right).$

Тогда

$\begin{array}{rlrl}{\vartheta }_{00}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =\alpha {\vartheta }_{00}(z;\tau )& {\vartheta }_{01}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =\alpha {\vartheta }_{10}(z;\tau )\\ {\vartheta }_{10}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =\alpha {\vartheta }_{01}(z;\tau )& {\vartheta }_{11}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =-i\alpha {\vartheta }_{11}(z;\tau ).\end{array}$

Тета-функции в терминах нома

Вместо выражения тета-функций в терминах z и $\tau$ мы можем выразить их в терминах аргумента w и нома q, где $w=e^{\pi iz}$, а $q=e^{\pi i\tau }$. В этом случае функции превращаются в

$\begin{array}{rlrl}{\vartheta }_{00}(w,q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(w^2{)}^n{q}^{n^2}& {\vartheta }_{01}(w,q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(w^2{)}^n{q}^{n^2}\\ {\vartheta }_{10}(w,q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(w^2{)}^{n+\frac{1}{2}}{q}^{{(n+\frac{1}{2})}^2}& {\vartheta }_{11}(w,q)& =i\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(w^2{)}^{n+\frac{1}{2}}{q}^{{(n+\frac{1}{2})}^2}.\end{array}$

Мы видим, что тета-функции можно определить в терминах w и q без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Формулы могут быть использованы, поэтому, для определения тета-функций над другими полями, где экспоненциальная функция может быть не везде определена, такими как поле p-адических чисел.

Представления произведений

Тройное произведение Якоби (специальный случай тождеств Макдональда) говорит нам, что для комплексных чисел w и q с $|q|<1$ и $w\ne 0$ мы имеем

$\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1+w^2{q}^{2m-1})(1+w^{-2}{q}^{2m-1})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{w}^{2n}{q}^{n^2}.$

Это можно доказать элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта An Introduction to the Theory of Numbers.

Если мы выразим тета-функцию в терминах томов $q=e^{\pi i\tau }$ и $w=e^{\pi iz}$, то

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (\pi i\tau n^2)\exp (2\pi izn)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{w}^{2n}{q}^{n^2}.$

Мы поэтому получаем формулу произведения для тета-функции вида

$\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\exp (2m\pi i\tau ))(1+\exp ((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz\left)\right)(1+\exp ((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz\left)\right).$

В терминах w и q:

$\begin{array}{rl}\vartheta (z;\tau )& =\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1+q^{2m-1}{w}^2)(1+\frac{q^{2m-1}}{w^2})\\ & ={(q^2;q^2)}_{\mathrm{\infty }}{(-w^{2}q;q^2)}_{\mathrm{\infty }}{(-\frac{q}{w^2};q^2)}_{\mathrm{\infty }}\\ & ={(q^2;q^2)}_{\mathrm{\infty }}\theta (-w^{2}q;q^2)\end{array}$

где $(;{)}_{\mathrm{\infty }}$ является q-символом Похгаммера, а $\theta (;)$ является q-тета-функцией. Если раскрыть скобки, тройное произведение Якоби получит вид

$\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1+(w^2+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}),$

что можно также переписать в виде

$\vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1+2\cos (2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}).$

Эта формула верна для общего случая, но представляет особый интерес при вещественных z. Аналогичные формулы произведений для дополнительных тета-функций

$\begin{array}{rl}{\vartheta }_{01}(z\mid q)& =\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1-2\cos (2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}),\\ {\vartheta }_{10}(z\mid q)& =2q^{\frac{1}{4}}\cos (\pi z)\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1+2\cos (2\pi z)q^{2m}+q^{4m}),\\ {\vartheta }_{11}(z\mid q)& =-2q^{\frac{1}{4}}\sin (\pi z)\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1-2\cos (2\pi z)q^{2m}+q^{4m}).\end{array}$

Целочисленные представления

Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:

$\begin{array}{rl}{\vartheta }_{00}(z;\tau )& =-i\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz+\pi u)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u;\\ {\vartheta }_{01}(z;\tau )& =-i\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u;\\ {\vartheta }_{10}(z;\tau )& =-i{e}^{iz+\frac{1}{4}i\pi \tau }\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u;\\ {\vartheta }_{11}(z;\tau )& =e^{iz+\frac{1}{4}i\pi \tau }\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz+\pi \tau u)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u.\end{array}$

Явные значения

См. статью Йи (2004).

$\begin{array}{rl}\phi (e^{-\pi x})& =\vartheta (0;ix)={\theta }_3(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x\pi n^2}\\ \phi \left(e^{-\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\\ \phi \left(e^{-2\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{6\pi +4\sqrt{2}\pi }}{2\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\\ \phi \left(e^{-3\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{27\pi +18\sqrt{3}\pi }}{3\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\\ \phi \left(e^{-4\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{8\pi }+2\sqrt[4]{\pi }}{4\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\\ \phi \left(e^{-5\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{225\pi +100\sqrt{5}\pi }}{5\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\\ \phi \left(e^{-6\pi }\right)& =\frac{\sqrt[3]{3\sqrt{2}+3\sqrt[4]{3}+2\sqrt{3}-\sqrt[4]{27}+\sqrt[4]{1728}-4}\cdot \sqrt[8]{243{\pi }^2}}{6\sqrt[6]{1+\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\end{array}$

Некоторые тождества с рядами

Следующие два тождества для рядов доказал Иштван Мезо:

$\begin{array}{rl}{\vartheta }_4^2(q)& =i{q}^{\frac{1}{4}}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2k^2-k}{\vartheta }_1(\frac{2k-1}{2i}\ln q,q),\\ {\vartheta }_4^2(q)& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2k^2}{\vartheta }_4(\frac{k\ln q}{i},q).\end{array}$

Эти отношения выполняются для всех 0 < q < 1. Фиксируя значения q, мы получим следующие свободные от параметров суммы

$\begin{array}{rl}\sqrt{\frac{\pi \sqrt{e^{\pi }}}{2}}\cdot \frac{1}{{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)}& =i\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi (k-2k^2)}{\vartheta }_1(\frac{i\pi }{2}(2k-1),e^{-\pi }),\\ \sqrt{\frac{\pi }{2}}\cdot \frac{1}{{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)}& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\vartheta }_4(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^2}}\end{array}$

Нули тета-функций Якоби

Все нули тета-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом:

$\begin{array}{rlrlrl}\vartheta (z,\tau )={\vartheta }_3(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau +\frac{1}{2}+\frac{\tau }{2}\\ {\vartheta }_1(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau \\ {\vartheta }_2(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau +\frac{1}{2}\\ {\vartheta }_4(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau +\frac{\tau }{2}\end{array}$,

где m, n являются произвольными целыми.

Связь с дзета-функцией Римана

Соотношение

$\vartheta (0;-\frac{1}{\tau })=(-i\tau {)}^{\frac{1}{2}}\vartheta (0;\tau )$

использовал Риман для доказательства функционального уравнения для дзета-функции Римана посредством преобразования Меллина

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right){\pi }^{-\frac{s}{2}}\zeta (s)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\vartheta (0;it)-1)t^{\frac{s}{2}}\frac{\mathrm{d}t}{t}$

и можно показать, что преобразование инвариантно относительно замены s на 1 − s. Cоответствующий интеграл для z ≠ 0 дан в статье о дзета-функции Гурвица.

Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса

Тета-функции использовал Якоби для построения (в виде, приспособленном для упрощения вычислений) его эллиптических функций как частные вышеприведённых четырёх тета-функций, и он мог их использовать также для построения эллиптических функций Вейерштрасса, поскольку

$\mathrm{\wp }(z;\tau )=-(\log {\vartheta }_{11}(z;\tau ){)}^{″}+c$,

где вторая производная берётся по z, а константа c определена так, что ряд Лорана функции ℘(z) в точке z = 0 имеет нулевой постоянный член.

Связь с q-гамма функцией

Четвёртая тета-функция – а тогда и остальные – неразрывно связана с q-гамма-функцией Джексона соотношением.

${({\mathrm{\Gamma }}_{q^2}(x){\mathrm{\Gamma }}_{q^2}(1-x))}^{-1}=\frac{q^{2x(1-x)}}{{(q^{-2};q^{-2})}_{\mathrm{\infty }}^3(q^2-1)}{\vartheta }_4(\frac{1}{2i}(1-2x)\log q,\frac{1}{q}).$

Связь с эта-функцией Дедекинда

Пусть $\eta (\tau )$ — эта-функция Дедекинда, а аргумент тета-функции представлен как ном $q=e^{\pi i\tau }$. Тогда

$\begin{array}{rl}{\theta }_2(0,q)={\vartheta }_{10}(0;\tau )& =\frac{2{\eta }^2(2\tau )}{\eta (\tau )},\\ {\theta }_3(0,q)={\vartheta }_{00}(0;\tau )& =\frac{{\eta }^5(\tau )}{{\eta }^2\left(\frac{1}{2}\tau \right){\eta }^2(2\tau )}=\frac{{\eta }^2(\frac{1}{2}(\tau +1))}{\eta (\tau +1)},\\ {\theta }_4(0,q)={\vartheta }_{01}(0;\tau )& =\frac{{\eta }^2\left(\frac{1}{2}\tau \right)}{\eta (\tau )},\end{array}$

и

${\theta }_2(0,q){\theta }_3(0,q){\theta }_4(0,q)=2{\eta }^3(\tau ).$

См. также статью о модулярных функциях Вебера.

Эллиптический модуль

J-инвариант равен

$k(\tau )=\frac{{\vartheta }_{10}(0,\tau {)}^2}{{\vartheta }_{00}(0,\tau {)}^2}$,

а дополнительный эллиптический модуль равен

$k^{\prime }(\tau )=\frac{{\vartheta }_{01}(0,\tau {)}^2}{{\vartheta }_{00}(0,\tau {)}^2}$

Решение теплового уравнения

Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственными периодическими граничными условиями. Принимая $z=x$ вещественным, а $\tau =it$ с вещественным и положительным t, мы можем записать

$\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\exp (-\pi n^{2}t)\cos (2\pi nx)$,

что решает уравнение теплопроводности

$\frac{\partial }{\partial t}\vartheta (x,it)=\frac{1}{4\pi }\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\vartheta (x,it).$

Это решение в виде тета-функции является 1-периодическим по x, и при $t\to 0$ оно стремится к периодической дельта-функции или гребню Дирака в смысле распределений

$\underset{t\to 0}{\lim }\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-n)$.

Общие решения для задачи с пространственными периодическими начальными значениями для уравнения теплопроводности могут быть получены путём свёртки начальных данных в $t=0$ с тета-функцией.

Связь с группой Гейзенберга

Тета-функция Якоби является инвариантом при действии дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Эта инвариантность представлена в статье о тета-представлении группы Гейзенберга.

Обобщения

Если F является квадратичной формой от n переменных, то тета-функция, связанная с F, равна

${\theta }_F(z)=\sum _{m\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}^n}{e}^{2\pi izF(m)}$

с суммой по решётке целых чисел ℤⁿ. Эта тета-функция является модулярной формой с весом $\frac{n}{2}$ (на надлежащим образом определённой подгруппе) модулярной группы. В разложении в ряд Фурье

${\hat{\theta }}_F(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{R}_F(k)e^{2\pi ikz},$

числа $R_F(k)$ называются числами представления формы.

Тета-функция Рамануджана

Основные статьи: Тета-функция Рамануджана и Фальшивая тета-функция

Риманова тета-функция

Пусть

${\mathbb{ℍ}}_n=\{F\in M(n,\mathbb{ℂ})|F=F^{\mathsf{T}},\mathrm{Im}F>0\}$

является множеством симметричных квадратных матриц, мнимая часть которых положительно определена. ℍ_n называется верхним полупространством Зигеля и является многомерным аналогом верхней полуплоскости. n-Мерным аналогом модулярной группы является симплектическая группа Sp(2n,ℤ). Для $n=1\mathrm{S}\mathrm{p}(2,\mathbb{\mathbb{Z}})=\mathrm{S}\mathrm{L}(2,\mathbb{\mathbb{Z}})$. Роль n-мерного аналога конгруэнтных подгрупп играет

$\ker \{\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{\mathbb{Z}})\to \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{\mathbb{Z}}/k\mathbb{\mathbb{Z}})\}.$

Тогда, если дано $\tau \in {\mathbb{ℍ}}_n$, тета-функция Римана определяется как

$\theta (z,\tau )=\sum _{m\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}^n}\exp \left(2\pi i(\frac{1}{2}{m}^{\mathsf{T}}\tau m+m^{\mathsf{T}}z)\right).$

Здесь $z\in {\mathbb{ℂ}}_n$ является n-мерным комплексным вектором, а верхний индекс T означает транспонирование. Тета-функция Якоби является тогда частным случаем с $n=1$ и $\tau \in \mathbb{ℍ}$, где $\mathbb{ℍ}$ является верхней полуплоскостью.

Тета-функция Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах ${\mathbb{ℂ}}^n\times {\mathbb{ℍ}}_n$.

Функциональное уравнение функции

$\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i(-b^{\mathsf{T}}z-\frac{1}{2}{b}^{\mathsf{T}}\tau b)\theta (z,\tau )$

которое выполняется для всех векторов $a,b\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}^n$ и для всех $z\in {\mathbb{ℂ}}^n$}} и $\tau \in {\mathbb{ℍ}}_n$.

Ряд Пуанкаре

Ряд Пуанкаре обобщает тета-ряд на автоморфные формы применительно к произвольным фуксовым группам.

Литература для дальнейшего чтения

• Тета-функции, Якоби эллиптические функции // Математическая энциклопедия / Виноградов И. В.. — Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — (Энциклопедии, словари, справочники).
• Прасолов В. В., Соловьёв Ю. П. Алгебраические уравнения и тета-функции. — М.: МК НМУ, 1994.

• Hershel M. Farkas. Theta functions in complex analysis and number theory // Surveys in Number Theory / Krishnaswami Alladi. — Springer-Verlag, 2008. — Т. 17. — С. 57–87. — (Developments in Mathematics). — ISBN 978-0-387-78509-7.
• Bruno Schoeneberg. IX. Theta series // Elliptic modular functions. — Springer-Verlag, 1974. — Т. 203. — С. 203–226. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-06382-X.
• Тюрин А. Н. Квантование, классическая и квантовая теория поля и тета-функции. — М., 2003.

Ссылки

• Moiseev Igor. Elliptic functions for Matlab and Octave  (неопр.).