Гребень Дирака

Гребень Дирака — бесконечный ряд

Гребень Дира́ка — это периодическое распределение Шварца, построенное из дельта-функций

${\mathrm{\Delta }}_T(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-kT)$

для некоторого заданного периода $T$.

Ряды Фурье

Очевидно, что ${\mathrm{\Delta }}_T(t)$ периодическая с периодом $T$. Поэтому

${\mathrm{\Delta }}_T(t+T)={\mathrm{\Delta }}_T(t)$

для всех $t$. Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции

${\mathrm{\Delta }}_T(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{i2\pi nt/T}$

где $c_n$ коэффициенты Фурье, равные

$c_n$	$=\frac{1}{T}\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}{\mathrm{\Delta }}_T(t)e^{-i2\pi nt/T}dt(-\mathrm{\infty }<t_0<+\mathrm{\infty })$
	$=\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}{\mathrm{\Delta }}_T(t)e^{-i2\pi nt/T}dt$
	$=\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}dt$
	$=\frac{1}{T}{e}^{-i2\pi n0/T}$
	$=\frac{1}{T}.$

В результате того, что все коэффициенты Фурье равны $1/T$, получаем окончательное выражение

${\mathrm{\Delta }}_T(t)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i2\pi nt/T}$.

Ссылки

• Bracewell, R.N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (revised ed.), McGraw-Hill ; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.
• Córdoba, A (1989), Dirac combs, Letters in Mathematical Physics Т. 17: 191–196