Вектор (алгебра)

В линейной алгебре вектором называется элемент линейного пространства. Векторы можно рассматривать как направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.

• вектор v=(2,1), представленный как столбец из пары чисел, как точка на плоскости, и как стрелка из точки (0,0)
• 
  вектор-столбец
• 
  точка $(2,1)$
• Ошибка создания миниатюры:
  стрелка в точку $(2,1)$

Понятием вектора используют при решении систем линейных алгебраических уравнений, при работе с линейными операторами (пример линейного оператора — оператор поворота). Определение вектора может быть расширено, определяя норму или скалярное произведение (возможно, и то, и другое вместе), после чего оперируют уже с нормированными и евклидовыми пространствами, со скалярным произведением связывают понятие угла между векторами, а с нормой — понятие длины вектора. Многие математические объекты (например, матрицы, тензоры и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем конечный (а иногда даже и чем счётный) упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства, то есть являются с точки зрения алгебры векторами.

В алгебре вектор — это (последовательность, кортеж) однородных элементов. То есть вектором называется упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается $\bar{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, числа $x_1,x_2,\dots ,x_n$ называются компонентами арифметического вектора. Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число, называется пространством арифметических векторов $R^n$ . В любом $R^n$, точка, соответствующая набору $(0,0,...,0)$ имеет особое значение и называется началом координат. Если в упорядочной совокупности $n$-чисел - $R^n$, $n$ равно единице, двум или трем, то мы ее можем представить геометрически как, соответственно, прямую, плоскость и пространство. Если $n=2$, то $R^2$ можно рассматривать как плоскость, как совокупность упорядоченных пар вещественных чисел с координатами $x$ и $y$. Если $n=3$ то $R^3$ можно рассматривать как пространство, как совокупность упорядоченных троек вещественных чисел с координатами $x$, $y$, $z$. Вектор это элемент $R^n$. Таким образом, упорядочную совокупность может равном образом обозначать как точка так и вектор. Так как вектор геометрически представляется как направленный отрезок, вектор можно рассматривать как разность между двумя точками - координатами начала и конца отрезка. Однако, поскольку обычно рассматриваются вектора, начинающиеся в начале координат, разница между точкой и вектором носит условный характер, их координаты одинаковые.

Преимущество алгебраического представления векторов перед геометрическим состоит в том, что существует сложность при применении геометрической трактовки в рассмотрении векторов в $R^4,R^5,...$, то есть векторов имеющих больше трех координат. Для записи вектора в $R^n$ используется вертикальная запись $\nu =\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)$ Это запись называется вектор-столбец. Также используется запись $\nu =\left(\begin{array}{cc}3& 5\end{array}\right)$ - вектор строка.

Именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки обычно принятого в алгебре, да и в математике вообще.

Операции с векторами

Умножение вектора на число и сложение векторов являются основными операциями алгебры. Умножение векторов на число, например, $cv$, $dw$ и следом за этим их сложение, например, $cv+dw$ дает их линейную комбинацию.

Умножение вектора на число

Умножение на число (скаляр) умножает каждый отдельный компонент вектора. Например, при умножении вектора $v=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ на скаляр $c=3$, на скаляр $3$ умножается каждый компонент вектора $v$ (и $2$, и $1$):

$3v=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$

Если днный вектор преставлен как стрелка, то при умножении его на данный скаляр, длина стрелки увеличивается в три раза. При умножении на отрицательное число направление вектора меняется на противоположное: $-v=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\end{array}\right)$.

Cложение векторов

Два вектора $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ и вектор их суммы (слева — найденный по правилу параллелограмма, справа — по правилу треугольника)

Сложение вектора $v=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ и вектора $w=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$:

$v+w=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$

При сложении векторов, в конец одного вектора размещается начало второго вектора.

Линейная комбинация векторов $3v+2w$:

$3v+2w=3\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right)$

Скалярное произведение векторов

Подробное рассмотрение темы: Скалярное произведение

Скалярным произведением вектора $v=(v_1,v_2)$ и вектора $w=(w_1,w_2)$ будет число $\mathbf{𝐯}\cdot \mathbf{𝐰}$:

$\mathbf{𝐯}\cdot \mathbf{𝐰}=v_1{w}_1+v_2{w}_2$.

Например, скалярным произведением векторов $v=\left(\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right)$ и $w=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\end{array}\right)$ будет $\mathbf{𝐯}\cdot \mathbf{𝐰}=(2)(-1)+(1)(1)=-1$.

Скалярным произведением вектора $\left(\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right)$ и вектора $\left(\begin{array}{cc}-1& 2\end{array}\right)$ будет $0$:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)=-2+2=0$

Если скалярным произведением двух векторов является ноль, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Примером перпендикулярных векторов будут векторы $i=(1,0)$ проходящий вдоль оси $x$ и $j=(0,1)$ проходящий вдоль оси $y$. Их скалярное произведение также будет равно $0$: $i\cdot j=0+0=0$. Эти два вектора являются столбцами $2\times 2$ единичной матрицы $I$

Перпендикулярные векторы

Произведение и сумма перпендикулярных векторов.

Перпендикулярные векторы $v(1,1),w(1,-1)$

Если векторы $v$ и $w$ перпендикулярны друг другу, то косинус угла между ними равен нулю. Следовательно скалярное произведение этих векторов равно нулю: $v\cdot w=0$. Следовательно:

$\begin{array}{rl}\Vert v+w{\Vert }^2& =(v+w)\cdot (v+w)\\ & =v\cdot v+v\cdot w+w\cdot v+w\cdot w\\ & =v\cdot v+0+0+w\cdot w\\ & =\Vert v{\Vert }^2+\Vert w{\Vert }^2\end{array}$.

Например, векторы $v(1,1),w(1,-1)$ перпендикулярны друг другу. Их скалярное произведение равно нулю $v\cdot w=1\cdot 1+1\cdot (-1)=1-1=0$. Сумма векторов равна $v+w=(2,0)$. Квадрат длины вектора $v$ равен $\Vert v{\Vert }^2=2$, квадрат длины вектора $w$ равен $\Vert w{\Vert }^2=2$. Следовательно квадрат длины суммы векторов равен $\Vert v+w{\Vert }^2=4$.

Литература

• Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.
• Dan Margalit, Joseph Rabinoff, Ben Williams Interactive Linear Algebra UBC edition
• Strang G. Differential equations and linear algebra. – Wellesley-Cambridge Press, 2014. – С. 512