Вектор-функция

Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве $\mathbb{𝕍}$ двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

• одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в $\mathbb{𝕍}$ некоторую кривую;
• m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в $\mathbb{𝕍}$, вообще говоря, m-мерную поверхность;
• векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на $\mathbb{𝕍}$.

Вектор-функция одной скалярной переменной

Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной $\mathbf{𝐫}(t)$ отображает некоторый интервал вещественных чисел $t_1⩽t⩽t_2$ в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).

Выбрав координатные орты $\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}$, мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):

$\mathbf{𝐫}(t)=x(t)\hat{\mathbf{i}}+y(t)\hat{\mathbf{j}}+z(t)\hat{\mathbf{k}}$

Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.

Говорят, что вектор-функция $\mathbf{𝐫}(t)$ имеет предел ${\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟎}}$ в точке $t=t_0$, если $\underset{t\to t_0}{\lim }|\mathbf{𝐫}(t)-{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟎}}|=0$ (здесь и далее $|\mathbf{𝐯}|$ обозначают модуль вектора $\mathbf{𝐯}$). Предел вектор-функции имеет обычные свойства:

• Предел суммы вектор-функций равен сумме пределов слагаемых (в предположении, что они существуют).
• Предел скалярного произведения вектор-функций равен скалярному произведению пределов сомножителей.
• Предел векторного произведения вектор-функций равен векторному произведению пределов сомножителей.

Непрерывность вектор-функции определяется традиционно.

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции $\mathbf{𝐫}(t)$ по параметру:

$\frac{d}{dt}\mathbf{𝐫}(t)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{𝐫}(t+h)-\mathbf{𝐫}(t)}{h}$.

Если производная в точке $t$ существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут $x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t)$.

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

• $\frac{d}{dt}({\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟏}}(t)+{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟐}}(t))=\frac{d{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟏}}(t)}{dt}+\frac{d{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟐}}(t)}{dt}$ — производная суммы есть сумма производных
• $\frac{d}{dt}(f(t)\mathbf{𝐫}(t))=\frac{df(t)}{dt}\mathbf{𝐫}(t)+f(t)\frac{d\mathbf{𝐫}(t)}{dt}$ — здесь f(t) — дифференцируемая скалярная функция.
• $\frac{d}{dt}({\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟏}}(t){\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟐}}(t))=\frac{d{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟏}}(t)}{dt}{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟐}}(t)+{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟏}}(t)\frac{d{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟐}}(t)}{dt}$ — дифференцирование скалярного произведения.
• $\frac{d}{dt}[{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟏}}(t){\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟐}}(t)]=[\frac{d{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟏}}(t)}{dt}{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟐}}(t)]+[{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟏}}(t)\frac{d{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟐}}(t)}{dt}]$ — дифференцирование векторного произведения.
• $\frac{d}{dt}(\mathbf{𝐚}(t),\mathbf{𝐛}(t),\mathbf{𝐜}(t))=(\frac{d\mathbf{𝐚}(t)}{dt},\mathbf{𝐛}(t),\mathbf{𝐜}(t))+(\mathbf{𝐚}(t),\frac{d\mathbf{𝐛}(t)}{dt},\mathbf{𝐜}(t))+(\mathbf{𝐚}(t),\mathbf{𝐛}(t),\frac{d\mathbf{𝐜}(t)}{dt})$ — дифференцирование смешанного произведения.

О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.

Вектор-функция нескольких скалярных переменных

Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции $\mathbf{𝐫}(u,v)$ (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.

В координатах уравнение $\mathbf{𝐫}=\mathbf{𝐫}(u,v)$ имеет вид:

$x=x(u,v);y=y(u,v);z=z(u,v)$

Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будет две: $\frac{\partial \mathbf{𝐫}}{\partial u},\frac{\partial \mathbf{𝐫}}{\partial v}$. Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём $[\frac{\partial \mathbf{𝐫}}{\partial u},\frac{\partial \mathbf{𝐫}}{\partial v}]$ не обращается тождественно в ноль.

Координатная сетка на сфере

Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде:

$u=u(t);v=v(t)$,

где t — параметр кривой. Зависимости $u(t),v(t)$ предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности:

$u=t;v=const$ — первая координатная линия.

$u=const;v=t$ — вторая координатная линия.

Если на поверхности нет особых точек ($[\frac{\partial \mathbf{𝐫}}{\partial u},\frac{\partial \mathbf{𝐫}}{\partial v}]$ нигде не обращается в ноль), то через каждую точку поверхности проходят точно две координатные линии.

Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярных переменных см.: Теория поверхностей.

Литература

• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1966.
• Краснов М. Л., Кисилев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-е изд. УРСС, 2002)
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Архивная копия от 14 ноября 2007 на Wayback Machine 9-е изд. М.: Наука, 1965.