Эпсилон-окрестность

$\epsilon$-окре́стность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на $\epsilon$.

Определения

• Пусть $(X,\varrho )$ есть метрическое пространство, $x_0\in X,$ и $\epsilon >0.$ $\epsilon$-окрестностью $x_0$ называется множество

$U_{\epsilon }(x_0)=\{x\in X\mid \varrho (x,x_0)<\epsilon \}.$

• Проколотой $\epsilon$-окрестностью точки $x_0$ называется её $\epsilon$-окрестность без неё самой:

${\dot{U}}_{\epsilon }(x_0)=U_{\epsilon }(x_0)\mathrm{\setminus }{x}_0$

• Пусть дано подмножество $A\subset X.$ Тогда $\epsilon$-окрестностью этого множества называется множество

$U_{\epsilon }(A)=\bigcup _{x\in A}{U}_{\epsilon }(x).$

Замечания

• $\epsilon$-окрестностью точки $x_0$ таким образом называется открытый шар с центром в $x_0$ и радиусом $\epsilon .$
• Прямо из определения следует, что

$U_{\epsilon }(A)=\{x\in X\mid \mathrm{\exists }y\in A\varrho (x,y)<\epsilon \}.$

• $\epsilon$-окрестность является окрестностью и, в частности, открытым множеством.

Примеры

Пусть есть вещественная прямая $\mathbb{ℝ}$ со стандартной метрикой $\varrho (x,y)=|x-y|,x,y\in \mathbb{ℝ}.$ Тогда

• $U_2(1)=(-1,3);$
• $U_1([5,7])=(4,8).$