Окрестность

Для термина «окрестность» см. также другие значения.

На плоскости подмножество $V$ является окрестностью точки $p$, если вокруг точки можно нарисовать небольшой диск, который будет целиком содержаться в $V$.

Прямоугольник не может являться окрестностью своих вершин.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Определения

Математический анализ

Основная статья: ε-окрестность

Пусть $\epsilon >0$ произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки $x_0$ на числовой прямой (иногда говорят $\epsilon$-окрестностью) называется множество точек, удаленных от $x_0$ менее чем на $\epsilon$, то есть $O_{\epsilon }(x_0)=\{x:|x-x_0|<\epsilon \}$.

В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый $\epsilon$-шар с центром в точке $x_0$.

В банаховом пространстве $(B,\Vert \cdot \Vert )$ окрестностью с центром в точке $x_0$ называют множество $A=\{x\in B:\Vert x-x_0\Vert <\epsilon \}$.

В метрическом пространстве $(M,\rho )$ окрестностью с центром в точке $y$ называют множество $A=\{x\in M:\rho (x,y)<\epsilon \}$.

Общая топология

Пусть задано топологическое пространство $(X,{𝒯})$, где $X$ — произвольное множество, а ${𝒯}$ — определённая на $X$ топология.

• Множество $V\subset X$ называется окрестностью точки $x\in X$, если существует открытое множество $U\in {𝒯}$ такое, что $x\in U\subset V$.
• Аналогично окрестностью множества $M\subset X$ называется такое множество $V\subset X$, что существует открытое множество $U\in {𝒯}$, для которого выполнено $M\subset U\subset V$.

Замечания

• Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность $V$ была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество $U$. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
• Окрестностью множества точек $M$ называется такое множество $V$, что $V$ есть окрестность любой точки $x\in M$.

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда $(-1,2)$ является открытой окрестностью, а $[-1,2]$ — замкнутой окрестностью точки $0$.

Вариации и обобщения

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество $\dot{V}$ называется проколотой окрестностью (вы́колотой окрестностью) точки $x\in X$, если

$\dot{V}=V\setminus \{x\},$

где $V$ — окрестность $x$.

См. также

• Глоссарий общей топологии

Литература

• Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
• У.Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.