Тождества Фирца

Тождества Фирца — тождества линейной алгебры, связывающие различные выражения в виде произведений матриц Паули, матриц Гелл-Манна и матриц Дирака, различающиеся между собой перестановкой индексов. Используются в теоретической физике.

Тождества Фирца для матриц Паули

${\delta }_b^a{\delta }_d^c=\frac{1}{2}{\delta }_d^a{\delta }_b^c+\frac{1}{2}{\mathit{\sigma }}_d^a{\mathit{\sigma }}_b^c$

${\mathit{\sigma }}_b^a{\mathit{\sigma }}_d^c=\frac{3}{2}{\delta }_d^a{\delta }_b^c-\frac{1}{2}{\mathit{\sigma }}_d^a{\mathit{\sigma }}_b^c$

Здесь и ниже ${\sigma }_i$ — матрицы Паули, ${\delta }_b^a$ — символ Кронекера,$\mathit{\sigma }\mathit{\sigma }={\sigma }_i{\sigma }_i,i=1,2,3$.

Тождества Фирца для матриц Гелл-Манна

${\delta }_{\beta }^{\alpha }{\delta }_{\delta }^{\gamma }=\frac{1}{3}{\delta }_{\delta }^{\alpha }{\delta }_{\beta }^{\gamma }+\frac{1}{2}{\mathit{\lambda }}_{\delta }^{\alpha }{\mathit{\lambda }}_{\beta }^{\gamma }$

${\mathit{\lambda }}_{\beta }^{\alpha }{\mathit{\lambda }}_{\delta }^{\gamma }=\frac{16}{9}{\delta }_{\delta }^{\alpha }{\delta }_{\beta }^{\gamma }-\frac{1}{3}{\mathit{\lambda }}_{\delta }^{\alpha }{\mathit{\lambda }}_{\beta }^{\gamma }$

Здесь и ниже ${\lambda }_{\delta }$ — матрицы Гелл-Манна, $\mathit{\lambda }\mathit{\lambda }={\lambda }_i{\lambda }_i,i=1,2,3,...8$.

Тождества Фирца для матриц Дирака

$(\overline{a}{O}_{i}b)(\overline{c}{O}^{i}d)=\sum _k{C}_{ik}(\overline{a}{O}_{k}d)(\overline{c}{O}^{k}b)$

Здесь матрица $O$ может быть одного из пяти типов $(S,V,T,A,P)$:

$O_S=\mathbf{𝟏}$,

$O_V={\gamma }_{\alpha }$,

$O_T=\frac{{\sigma }_{\alpha \beta }}{\sqrt{2}}$,

$O_A={\gamma }_5{\gamma }_{\alpha }$,

$O_P={\gamma }_5$,

где ${\gamma }_{\alpha }$ — матрицы Дирака

Матрица $C_{ik}$ называется матрицей Фирца.

Матрица Фирца

Произведение	S	V	T	A	P
S × S =	1/4	1/4	-1/4	-1/4	1/4
V × V =	1	-1/2	0	-1/2	-1
T × T =	-3/2	0	-1/2	0	-3/2
A × A =	-1	-1/2	0	-1/2	1
P × P =	1/4	-1/4	-1/4	1/4	1/4

См. также

• Матрицы Паули
• Матрицы Гелл-Манна
• Матрицы Дирака

Литература

• Окунь Л. Б. Лептоны и кварки. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 352 с. — ISBN 5-354-01084-5.