Матрицы Паули

Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых и одновременно унитарных 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид

${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$

${\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),$

${\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$

Вместо ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ иногда используют обозначение ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$ и $X,Y,Z$.

Часто также употребляют матрицу

${\sigma }_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$

совпадающую с единичной матрицей $I$, которую также иногда обозначают как $E$.

Матрицы Паули вместе с матрицей ${\sigma }_0$ образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).

Свойства

Основные соотношения

• Эрмитовость: ${\sigma }_i^{†}={\sigma }_i;$
• Равенство нулю следа: $\mathrm{Tr}({\sigma }_i)=0,i=1,2,3$
• ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }_3^2={\sigma }_0^2=I,$ где $I={\sigma }_0$ — единичная матрица размерности 2×2.
• Унитарность: ${\sigma }_i^{†}={\sigma }_i^{-1}={\sigma }_i$
• Определитель матриц Паули равен −1.
• Алгебра, порождённая элементами ${\sigma }_0,-i{\sigma }_x,-i{\sigma }_y,-i{\sigma }_z$, изоморфна алгебре кватернионов $⟨1,i,j,k⟩$.

Правила умножения матриц Паули

${\sigma }_1{\sigma }_2=i{\sigma }_3,$

${\sigma }_3{\sigma }_1=i{\sigma }_2,$

${\sigma }_2{\sigma }_3=i{\sigma }_1,$

${\sigma }_i{\sigma }_j=-{\sigma }_j{\sigma }_i$ для $i\ne j.$

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

${\sigma }_i{\sigma }_j=i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k+{\delta }_{ij}\cdot {\sigma }_0,i,j,k=1,2,3$,

где ${\delta }_{ij}$ — символ Кронекера, а ε_ijk — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

$\begin{array}{ccc}[{\sigma }_i,{\sigma }_j]& =& 2i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k,\\ \{{\sigma }_i,{\sigma }_j\}& =& 2{\delta }_{ij}\cdot {\sigma }_0.\end{array}$

Квадратные скобки означают коммутатор ([math][a,b]=ab-ba[/math]), фигурные — антикоммутатор ([math]\{a,b\}=ab+ba[/math]).

Также для матриц Паули выполняются тождества Фирца.

Связь с алгебрами Ли

Коммутационные соотношения матриц $i{\sigma }_k$ совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц $i{\sigma }_k.$ Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства; в частности этим объясняется важность матриц Паули для физики.

Применение в физике

В квантовой механике матрицы $i{\sigma }_j/2$ представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½.

Матрицы проекций спина ½ — половины матриц Паули:

[math]\hat s_x=\tfrac12\sigma_x,\quad\hat s_y=\tfrac12\sigma_y,\quad\hat s_z=\tfrac12\sigma_z.[/math]

Это соответствует тому, что ненулевые элементы матрицы спинового оператора для частиц с произвольным спином [math]s[/math] выражаются как

$(s_x{)}_{\sigma ,\sigma -1}=(s_x{)}_{\sigma -1,\sigma }=\frac{1}{2}\sqrt{(s+\sigma )(s-\sigma +1)}$

$(s_y{)}_{\sigma ,\sigma -1}=-(s_y{)}_{\sigma -1,\sigma }=\frac{-i}{2}\sqrt{(s+\sigma )(s-\sigma +1)}$

$(s_z{)}_{\sigma \sigma }=\sigma$

Здесь [math]\sigma=-s,\dots,s-1,s[/math] пробегает значения от [math]-s[/math] до [math]+s[/math] с шагом 1 — собственные числа матриц [math]\hat s_x,\hat s_y,\hat s_z[/math] (не путать [math]\sigma[/math] с матрицами Паули!). При [math]s=\frac12[/math] эти формулы дают матрицы Паули, делённые на 2.

Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).

См. также

• Тождества Фирца

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.