Коммутатор (алгебра)

Коммутатором операторов $\hat{A}$ и $\hat{B}$ в алгебре, а также квантовой механике называется оператор $[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A}$ . В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные). В квантовой механике за коммутатором операторов также закрепилось название квантовая скобка Пуассона.

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Коммутатор матриц[править]

Коммутатор определяется для пары квадратных матриц одинакового размера. В этом случае его называют матричным коммутатором.

Коммутатор векторных полей[править]

Гладкому векторному полю $𝐯$ можно сопоставить дифференциальный оператор (математики часто считают, что векторные поля — это и есть дифференциальный операторы первого порядка):

$\hat{v} = v^{i} \frac{\partial}{\partial X^{i}} .$

По повторяющемуся индексу подразумевается сумма.

Мы можем определить коммутатор двух таких дифференциальных операторов

$[\hat{v}, \hat{w}] φ = (v^{i} \frac{\partial}{\partial X^{i}} w^{j} \frac{\partial}{\partial X^{j}} - w^{i} \frac{\partial}{\partial X^{i}} v^{j} \frac{\partial}{\partial X^{j}}) φ = (v^{i} \frac{\partial w^{j}}{\partial X^{i}} - w^{i} \frac{\partial v^{j}}{\partial X^{i}}) \frac{\partial φ}{\partial X^{j}} .$

Коммутатору дифференциальных операторов $[\hat{v}, \hat{w}]$ можно сопоставить векторное поле с компонентами

$[\hat{v}, \hat{w}]^{j} = v^{i} \frac{\partial w^{j}}{\partial X^{i}} - w^{i} \frac{\partial v^{j}}{\partial X^{i}} .$

Это поле называется коммутатором векторных полей и обозначают как $[𝐯, 𝐰]$ .

Тождества с коммутатором[править]

Антикоммутативность: $[A, B] = - [B, A] .$ Из этого тождества следует что $[A, A] = 0$ для любого оператора $A$ .

В ассоциативной алгебре верны также следующие тождества:

$[A, B C] = [A, B] C + B [A, C]$ . Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора $D_{A} = [A, \cdot] .$ По этой причине оператор $D_{A}$ называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор ${\tilde{D}}_{A} = [\cdot, A] .$
Тождество Якоби: $[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 .$ Алгебра, удовлетворяющая тождеству Якоби, называется алгеброй Ли. Таким образом, из любой ассоциативной алгебры можно получить алгебру Ли, если определить умножение в новой алгебре как коммутатор элементов старой алгебры.
$[A B, C] + [B C, A] + [C A, B] = 0 .$ Это тождество представляет собой другую запись тождества Якоби.
$[A B, C] = A [B, C] + [A, C] B$
$[A B C, D] = A B [C, D] + A [B, D] C + [A, D] B C$
$[A B, C D] = A [B, C D] + [A, C D] B = A [B, C] D + A C [B, D] + [A, C] D B + C [A, D] B$
$[A, B C D] = [A, B] C D + B [A, C] D + B C [A, D]$
$[A, B C D E] = [A, B] C D E + B [A, C] D E + B C [A, D] E + B C D [A, E]$
$[A B C D, E] = A B C [D, E] + A B [C, E] D + A [B, E] C D + [A, E] B C D$
$[[[A, B], C], D] + [[[B, C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C] = [[A, C], [B, D]]$
$e^{A} B e^{- A} = B + [A, B] + \frac{1}{2!} [A, [A, B]] + \frac{1}{3!} [A, [A, [A, B]]] + \dots \equiv e^{ad (A)} B .$ Эта формула справедлива в алгебрах, где может быть определена матричная экспонента, например, в Банаховой алгебре или в кольце формальных степенных рядов. Она также играет важнейшую роль в квантовой механике и квантовой теории поля при построении теории возмущений для операторов в представлении Гейзенберга и представлении взаимодействия.
$\ln (e^{A} e^{B} e^{- A} e^{- B}) = [A, B] + \frac{1}{2!} [(A + B), [A, B]] + \frac{1}{3!} ([A, [B, [B, A]]] / 2 + [(A + B), [(A + B), [A, B]]]) + \dots .$

Коммутатор в квантовой механике[править]

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора $\hat{F}$ физической величины $f$ на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам $\hat{F}$ , при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

\hat{F} ψ_{i} = f ψ_{i}

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

\hat{F} \hat{G} ψ_{i} = g \hat{F} ψ_{i} = g f ψ_{i} = \hat{G} \hat{F} ψ_{i}

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример — операторы импульса (компоненты импульса) ${\hat{p}}_{x} = - i ℏ \frac{\partial}{\partial x}$ и соответствующей координаты $\hat{x} = x$ (см. соотношение неопределённостей).

Законы сохранения[править]

Собственные значения гамильтониана квантовой системы — это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = \hat{H} ψ

и определения полной производной оператора по времени

\dot{\hat{f}} = \hat{\dot{f}}

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

\dot{\hat{f}} = \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, \hat{f}] + \frac{\partial \hat{f}}{\partial t}

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение является квантовым аналогом тождества

\dot{f} = {H, f} + \frac{\partial f}{\partial t}

из классической механики, где {,} — скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определённых симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определённых симметриях пространства кладётся в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации[править]

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

{\hat{r}}_{i}, {\hat{p}}_{i}, {\hat{L}}_{i}

— оператор i-ой компоненты, соответственно, радиус-вектора, импульса и момента импульса;

δ_{i j}

— дельта Кронекера;

e_{i j k}

— абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.

[{\hat{r}}_{i}, {\hat{p}}_{j}] = i ℏ δ_{i j}

[\hat{p}, f (\vec{r})] = - i ℏ \nabla f

[{\hat{L}}_{i}, {\hat{r}}_{j}] = i ℏ e_{i j k} {\hat{r}}_{k}

[{\hat{L}}_{i}, {\hat{p}}_{j}] = i ℏ e_{i j k} {\hat{p}}_{k}

[{\hat{L}}_{i}, {\hat{L}}_{j}] = i ℏ e_{i j k} {\hat{L}}_{k}

[{\hat{L}}^{2}, {\hat{L}}_{i}] = 0

Как правило, необходимы соотношения для нормированного момента: ${\hat{L}}_{j} = ℏ {\hat{l}}_{j}$

[{\hat{l}}_{i}, {\hat{r}}_{j}] = i e_{i j k} {\hat{r}}_{k}

[{\hat{l}}_{i}, {\hat{p}}_{j}] = i e_{i j k} {\hat{p}}_{k}

[{\hat{l}}_{i}, {\hat{l}}_{j}] = i e_{i j k} {\hat{l}}_{k}

[{\hat{l}}^{2}, {\hat{l}}_{i}] = 0

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с её координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно $z$ ) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин[править]

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли, поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Некоммутирующие величины[править]

Некоммутирующими величинами $A$ и $B$ называются величины, коммутатор которых $[A, B] = A B - B A \neq 0$ .

Две физические величины одновременно измеримы тогда и только тогда, когда их операторы коммутируют^[1].

Антикоммутатор[править]

Антикоммутатор — симметризующий оператор над элементами кольца, определяющий степень «антикоммутативности» умножения в кольце:

[x, y]_{+} : = x y + y x

Через антикоммутатор вводится коммутативное «йорданово умножение». Алгебра Клиффорда всегда естественным образом связывает антикоммутатор с задающей её билинейной формой.

Примеры[править]

Антикоммутатор пары различных мнимых единиц у кватернионов равен нулю.
При помощи антикоммутатора определяются гамма-матрицы Дирака.

Литература[править]

Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720c.
Дирак П. Принципы квантовой механики. — 2-е изд. — М.: Наука, 1979. — 480 с.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.

См. также[править]

Примечания[править]

↑ 3.7. Одновременное измерение разных физических величин (неопр.). Дата обращения: 15 апреля 2016. Архивировано 24 апреля 2016 года.

[1] 3.7. Одновременное измерение разных физических величин (неопр.). Дата обращения: 15 апреля 2016. Архивировано 24 апреля 2016 года.

[1]