Стохастический интеграл

Стохастический интеграл — интеграл вида $\int f(t)dy(t)$, где $y(t),t\in T$ — случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стилтьеса.

Стохастический интеграл от детерминированной функции

Введем гильбертово пространство $H$ случайных величин $\xi$, $\mathbb{𝔼}|{\xi }^2|<\mathrm{\infty }$, со скалярным произведением $({\xi }_1,{\xi }_2)=\mathbb{𝔼}{\xi }_1\overline{{\xi }_2}$ и среднеквадратичной нормой $\Vert {\xi }_1\Vert ={\left(\mathbb{𝔼}{\left|\xi \right|}^2\right)}^{1/2}$. Здесь $\mathbb{𝔼}$ - обозначает математическое ожидание. В рамках гильбертова пространства можно описать важнейшие характеристики случайных величин, такие как условные математические ожидания, условные вероятности и т.д.

Пусть $T$ - конечный или бесконечный отрезок действительной прямой и на его полуинтервалах вида $\mathrm{\Delta }=(s,t]\subseteq T$ задана стохастическая аддитивная функция $\eta (\mathrm{\Delta })$ с ортогональными значениями из гильбертова пространства $H$ случайных величин $\xi$, $\mathbb{𝔼}|{\xi }^2|<\mathrm{\infty }$, обладающая свойствами:

• Для любых непересекающихся ${\mathrm{\Delta }}_1$, ${\mathrm{\Delta }}_2$, величины $\eta ({\mathrm{\Delta }}_1)$,$\eta ({\mathrm{\Delta }}_2)$ являются ортогональными, то есть их скалярное произведение в гильбертовом пространстве равно нулю: $(\eta ({\mathrm{\Delta }}_1),\eta ({\mathrm{\Delta }}_2))=0$
• Если $\eta ({\mathrm{\Delta }}_1)$, $\eta ({\mathrm{\Delta }}_2)$ являются непересекающимися полуинтервалами и $\eta ({\mathrm{\Delta }}_1)\cup \eta ({\mathrm{\Delta }}_2)$ составляет полуинтервал, то $\eta ({\mathrm{\Delta }}_1)\cup \eta ({\mathrm{\Delta }}_2)=\eta ({\mathrm{\Delta }}_1)+\eta ({\mathrm{\Delta }}_2)$
• ${\Vert \eta (\mathrm{\Delta })\Vert }^2=\left|\mathrm{\Delta }\right|$. Здесь $\Vert \Vert$ - норма в гильбертовом пространстве, $\left|\mathrm{\Delta }\right|=t-s$ при $\mathrm{\Delta }=(s,t]$.

Пусть $\phi (t)$ детерминированная функция, удовлетворяющая условию $\underset{T}{\int }{|\phi (t)|}^{2}dt<\mathrm{\infty }$. Рассмотрим последовательность кусочно-постоянных функций ${\phi }_n(t)$, аппроксимирующих функцию $\phi (t)$ так, что $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{T}{\int }{|\phi (t)-{\phi }_n(t)|}^{2}dt\to 0$,

Стохастическим интегралом $\underset{T}{\int }\phi (t)\eta (dt)$ от детерминированной функции $\phi (t)$ называется предел $\underset{T}{\int }\phi (t)\eta (dt)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{T}{\int }{\phi }_n(t)\eta (dt)$

Стохастический интеграл от стохастического процесса

Рассмотрим интеграл

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}\omega (t)d\omega (t),$

где $\omega (t),t\in T$ — винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал $[0;T]$ точками $0=t_1,t_2,...,t_N,t_{N+1}=T$ на $N$ подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений:

$I_0=\lim \sum _{i=1}^N\omega (t_i)[\omega (t_{i+1})-\omega (t_i)]$ или $I_1=\lim \sum _{i=1}^N\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_i)].$

Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса

$I_1-I_0=\lim \sum _{i=1}^N[\omega (t_{i+1})-\omega (t_i){]}^2=t.$

Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру $\lambda$ сумму интегралов $I_0$ и $I_1$ следующей формулой:

$I_{\lambda }=(1-\lambda )I_0+\lambda I_1=\lim \sum _{i=1}^N[(1-\lambda )\omega (t_i)+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_i)],$

при $0⩽\lambda ⩽1$. Интеграл $I_0$ соответствует интегралу Ито, а $I_{0,5}$ совпадает с интегралом Стратоновича.

Интеграл Стратоновича

Интеграл Стратоновича имеет вид

$I=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N[f(t_i)+f(t_{i+1})][y(t_{i+1})-y(t_i)].$

Интеграл Ито

Интеграл Ито имеет вид

$\int f(t)dy(t)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{N}f(t_i)[y(t_{i+1})-y(t_i)].$

Его основные свойства:

• $E\int f(t)dy(t)=\int Ef(t)dm(t).$
• $cov[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).$

Здесь $m(t)$ — функция среднего значения, $r(t)$ — ковариационная функция.

Интеграл Винера

Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число $\alpha$. Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции $x(t,\alpha )$. Интеграл вида

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(t)dx(t,\alpha )$

называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется интегрированием по частям с учётом равенства $x(0,\alpha )=0$:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{\prime }(t)x(t,\alpha )dt.$

Его основные свойства:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}d\alpha \underset{0}{\overset{1}{\int }}f(t)dx(t,\alpha )=0$.

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}d\alpha {[\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(t)dx(t,\alpha )]}^2=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2(t)dt$.

См. также

• Стохастическое исчисление Ито
• Стратонович, Руслан Леонтьевич

Литература

• Острём, К. Ю. Введение в стохастическую теорию управления / пер. с англ. С. А. Анисисмова, Н. Е. Арутюновой, А. Л. Бунича; под ред. Н. С. Райбмана. — М.: Мир, 1973.
• Винер, Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Ю.А. Розанов. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1982. — 128 с.